Aritmetická míra

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Aritmetická míra, též čítací míra nebo počítací míra, je mírou používanou hlavně v diskrétních systémech.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Mějme měřitelný prostor (X, \mathcal{P}(X)), kde X je libovolná množina a \mathcal{P} značí potenční množinu (\mathcal{P}(X) je speciální případ σ-algebry na X). Na takovém prostoru definujeme aritmetickou míru pro A \in \mathcal{P}(X) takto:

\alpha(A) = \begin{cases} |A| & \mbox{pokud A je konečná množina} \\ \infty & \mbox{pokud A není konečná} \end{cases}

Neformálně: Aritmetická míra je funkce přiřazující množině počet jejích prvků.

Vztah sumy a integrálu[editovat | editovat zdroj]

Aritmetická míra umožňuje zavést sumu jako speciální případ integrálu (Lebesgueova). Jelikož je každá podmnožina \mathbb{N} měřitelná, tak pro každou funkci (resp. posloupnost) g: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R} platí:

\int_\mathbb{N} g \, \mathrm{d} \alpha = \sum_{n \in \mathbb{N}} g(n) Je-li integrál definován.

Tento vztah je užitečný například při zavádění Lp prostoru na množině posloupností.