Měřitelný prostor

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání

Měřitelný prostor neboli borelovský prostor je v matematice základní objekt teorie míry.[1] Sestává z libovolné neprázdné množiny a -algebry na této množině. Měřitelný prostor poskytuje informace o tom, které množiny (podmnožiny základní množiny) lze měřit.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Uvažujme neprázdnou množinu a -algebru na . Pak uspořádanou dvojici nazýváme měřitelný prostor.[2]

Měřitelný prostor určuje, které podmnožiny základní množiny jsou měřitelné, ale na rozdíl od prostoru s mírou nedefinuje žádnou konkrétní míru.

Příklad[editovat | editovat zdroj]

Uvažujme množinu

.

Jedna z možných -algeber je

.

Pak je měřitelný prostor. Další možnou -algebrou je potenční množina množiny :

Díky tomu jiný měřitelný prostor na množině je .

Obvyklé měřitelné prostory[editovat | editovat zdroj]

Pokud je konečná nebo spočetná nekonečná množina, pak obvyklou -algebrou je potenční množina množiny , tj. . Měřitelný prostor je pak .

Pokud je topologický prostor, -algebra může být borelovská -algebra , . Měřitelný prostor je pak , který je obvyklý pro všechny topologické prostory včetně množiny všech reálných čísel .

Různý význam borelovských prostorů[editovat | editovat zdroj]

Termín borelovský prostor se používá pro různé typy měřitelných prostorů. Může znamenat:

Odkazy[editovat | editovat zdroj]

Reference[editovat | editovat zdroj]

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Measurable space na anglické Wikipedii.

  1. a b SAZONOV, V. V. Měřitelný prostor. [s.l.]: Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers Dostupné online. ISBN 978-1-55608-010-4. 
  2. KLENKE, Achim. Probability Theory. Berlín: Springer, 2008. ISBN 978-1-84800-047-6. DOI:10.1007/978-1-84800-048-3. 
  3. KALLENBERG, Olav. Random Measures, Theory and Applications. Svazek 77. Švýcarsko: Springer, 2017. (Probability Theory and Stochastic Modelling). ISBN 978-3-319-41596-3. DOI:10.1007/978-3-319-41598-7. 

Související články[editovat | editovat zdroj]