Teorie míry

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Teorie míry je matematická disciplína, která se zabývá problémem matematického uchopení pojmu kvantity. Má úzkou souvislost s teorií integrálu a teorií pravděpodobnosti.

Míra[editovat | editovat zdroj]

Pojem míry je základním pojmem teorie míry. Z neformálního hlediska je míra zobecněním pojmů délky, obsahu, objemu nebo počtu (množství).

Přesná definice[editovat | editovat zdroj]

Mějme měřitelný prostor . Množinovou funkci nazveme mírou, jestliže splňuje:

  • Míra prázdné množiny je nulová: .
  • Míra je vždy nezáporná:
  • σ-aditivita: Pro libovolnou spočetnou posloupnost po dvou disjunktních množin platí

Trojici pak nazýváme prostor s mírou.

Vlastnosti míry[editovat | editovat zdroj]

  • Pro posloupnost množin platí:
  • Pro posloupnost podmnožin platí:
  • Naopak pro posloupnost nadmnožin: pokud pak platí:

Příklady měr[editovat | editovat zdroj]

  • Diracova míra : Nechť X je neprázdná množina a a její prvek. Diracova míra je definována na σ-algebře P(X) všech podmnožin množiny X předpisem:

Reference[editovat | editovat zdroj]

  • Walter Rudin, Analýza v reálném a komplexním oboru
  • J. Lukeš, J. Malý: Míra a integrál (Measure and integral), skripta MFF

Související články[editovat | editovat zdroj]