Lebesgueův integrál

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Integrál nezáporné funkce může být interpretován jako plocha pod křivkou grafu funkce.

Lebesgueův integrál (někdy L-integrál) označuje v matematice definici určitého integrálu, založenou na teorii míry. Lebesgueův integrál je obecnější než integrál Riemannův, což v praxi znamená, že pokud existuje Riemannův integrál, tak existuje také Lebesgueův integrál, přičemž hodnoty obou integrálů jsou shodné. Pokud Riemannův integrál neexistuje, může existovat integrál Lebesgueův. Opačné tvrzení však neplatí (např. Dirichletova funkce, jejíž funkční hodnota je rovna 1, pokud je argument racionální číslo, a je rovna 0, pokud je argumentem iracionální číslo, má Lebesgueův integrál, ale nemá Riemannův integrál). Lebesgueův integrál je pojmenován po francouzském matematikovi Henri Lebesgueovi.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Nechť je prostor s mírou, . Pro měřitelnou nezápornou funkci definujeme Lebesgueův integrál vztahem

Pro obecnou měřitelnou funkci definujeme

(má-li výraz smysl), kde je kladná část funkce a je záporná část .

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

  • Každá měřitelná nezáporná funkce má Lebesgueův integrál. Obecná měřitelná funkce integrál nemá tehdy, když

  • Pro jednoduchou funkci je možné napsat definiční vztah jako

Jednoduchou funkci je však možné vyjádřit pomocí různých rozkladů. Z takové definice tedy není zřejmé, že hodnota integrálu jednoduché funkce nezávisí na rozkladu.

prostory[editovat | editovat zdroj]

Podrobnější informace naleznete v článku Lp prostor.

Pomocí Lebesgueova integrálu definujeme prostory funkcí

a zavedeme množinovou funkci

Snadno se ukáže, že splňuje všechny vlastnosti normy kromě jedné: neznamená všude v , ale pouze skoro všude v . Tvrzení tedy neplatí na množině míry 0.

Zavádí se proto prostory tříd ekvivalencí funkcí, které se liší na množině míry 0. V takovém prostoru je již normou.