Sigma algebra

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

\sigma-algebra (sigma-algebra, též \sigma-těleso) je v matematice libovolný neprázdný systém množin, který je uzavřený na spočetné sjednocení a na rozdíl dvou prvků a obsahuje sjednocení všech svých prvků. Prefix \sigma v názvu vyjadřuje uzavřenost na spočetné sjednocení.

V teorii míry se \sigma-okruh nazývá měřitelný prostor.

Formální definice[editovat | editovat zdroj]

Uspořádanou dvojici (\Omega,\mathcal{A}), kde \Omega je libovolná množina a \mathcal{A} \subseteq \mathcal{P}(\Omega) je nějaký systém jejích podmnožin, nazveme \sigma-algebrou, jestliže

  1. \mathcal{A} \neq \empty
  2. jestliže (\forall n \in \mathbb{N}) (M_{n} \in \mathcal{A}), pak \bigcup_{n=1}^{\infty} M_{n} \in \mathcal{A}
  3. jestliže M \in \mathcal{A}, pak \Omega \setminus M \in \mathcal{A}

Další vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

  • Každý \sigma-okruh obsahuje prázdnou množinu
  • \sigma-okruh obsahuje sjednocení všech svých prvků: \left(\bigcup_{M \in \mathcal{A}} M\right) \in \mathcal{A}
  • \sigma-okruh je uzavřený na spočetný průnik svých prvků: jestliže (\forall n \in \mathbb{N}) (A_{n} \in \mathcal{R}), pak \bigcap_{n=1}^{\infty} A_{n} \in \mathcal{R}

Použití[editovat | editovat zdroj]

Koncept \sigma-okruhu je důležitý především v teorii míry, kde se nazývá měřitelný prostor, a v teorii pravděpodobnosti. Míra je libovolná nezáporná množinová funkce definovaná na \sigma-algebře, která má na prázdné množině hodnotu 0. Pravděpodobnost je míra, která má na univerzální množině \Omega hodnotu 1.

Související články[editovat | editovat zdroj]

Reference[editovat | editovat zdroj]