Pravděpodobnost

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Pravděpodobnost náhodného jevu je číslo, které je mírou očekávatelnosti výskytu jevu. Náhodným jevem rozumíme opakovatelnou činnost prováděnou za stejných (nebo přibližně stejných) podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhodě. Příklady mohou být například házení kostkou nebo losování loterie.

Pravděpodobnost události se obecně označuje reálným číslem od 0 do 1. Událost, která nemůže nastat, má pravděpodobnost 0, a naopak jistá událost má pravděpodobnost 1. Někdy se kvůli názornosti pravděpodobnost uvádí v procentech, tedy setinách klasického vyjádření. Jiným používaným způsobem zápisu pravděpodobnosti je šance (anglicky odds), která se vyjadřuje jako poměr pravděpodobnosti, že jev nastane, ku pravděpodobnosti, že nenastane: Například „šance 1:1, že stihnu vlak“ označuje pravděpodobnost 0,5 (50 %). Šanci Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „/mathoid/local/v1/“:): x:y lze na pravděpodobnost převést jako Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „/mathoid/local/v1/“:): p=x/(x+y) (Např. šance 2:3 je rovna pravděpodobnosti 2/(2 + 3).)

Historie[editovat | editovat zdroj]

Matematizací pojmu pravděpodobnost se ve své korespondenci zabývali Pierre de Fermat a Blaise Pascal (1654), a to zejména v kontextu hazardních her a kombinatorických problémů. Základy pravděpodobnosti jako matematické discipliny poté dále rozvinuli Christian Huygens, Abraham de Moivre a zejména Jacob Bernoulli.

Zdaleka nejvýznamnějším a dodnes inspirativním klasikem teorie pravděpodobnosti byl však Pierre-Simon Laplace. Ve svém monumentálním díle o teorii pravděpodobnosti (Théorie analytique des probabilités) nejen že systematizoval veškeré poznání svých předchůdců, ale dalekosáhle je rozpracoval i aplikoval na téměř všechny oblasti tehdejšího vědeckého poznání – od fyziky až po sociální vědy. V pojetí Laplace představuje pravděpodobnost nástroj pro popis všech problémů s neúplnou vstupní informací. Přínosů Laplace pro teorii pravděpodobnosti je tolik, že ani jejich základní výčet zde není možný. Mimo jiné (znovu)objevil jednu z klíčových formulí teorie pravděpodobnosti, známou dnes jako Bayesův teorém, který navíc zobecnil pro situace s obecnou apriorní informací. Na řešení konkrétního astronomického problému – určení přibližné hmotnosti Saturnu – ukázal Laplace užití pravděpodobnosti na oblast jevů, pro které opakovaný či hromadný výskyt nemá smysl. Viz též Bayesovská teorie pravděpodobnosti. Jako předobraz metody maximální entropie odvodil Laplace rozložení chyb (v podstatě Gaussovu křivku) pro některé konkrétní experimenty. Populárně stylizovaným úvodem k jeho hlavnímu pravděpodobnostnímu dílu byla jeho „filosofická“ esej o pravděpodobnosti. Tento úvod byl sice mnohem rozšířenější a čtivější, než jeho dílo hlavní, vedl však též k různým zkresleným představám a mýtům o Laplaceově pravděpodobnostním odkazu. V hlavním Laplaceově pravděpodobnostním díle dominuje jím vynalezená (a pro pravděpodobnost velmi významná) metoda vytvořujících funkcí.

Laplace pozvedl teorii pravděpodobnosti na úroveň, která pak celé století po jeho smrti nebyla překonána. Novější vývoj sledoval dvě hlavní linie: jedna z nich se zabývala zejména pravděpodobností v kontextu tzv. hromadných jevů a fakticky vedla k výrazně zúženému a v podstatě statistickému pojetí pojmu pravděpodobnosti (tzv. „frekvencionistická“ škola, jejímž hlavním propagátorem byl R. von Mises). Druhá vývojová linie je charakterizovaná zejména pracemi vědců jako byli Kolmogorov (zejména matematika) a Jaynes (zejména fyzika), které zachovávají obecnost a ducha Laplaceova „bayesovského“ pojetí pravděpodobnosti, staví je však na modernější základy. V pracích Kolmogorova figuruje pravděpodobnost jako teorie normované míry, v pracích Jaynese je interpretována pravděpodobnost jako zobecněná logika. Obě tato pojetí jsou do značné míry ekvivalentní. Unikátnost pravidel teorie pravděpodobnosti, která představovala dlouho otevřenou otázku v základech teorie, značně ujasnili R. T. Cox a E. T. Jaynes. Souběžně ve 20. století došlo k „pravděpodobnostní revoluci“ ve fyzice, zejména v kontextu oblastí jako statistická fyzika, kvantová mechanika, teorie chaosu, informační fyzika, atd. Rozvoj poznatků o teorii pravděpodobnosti tak stále není ani zdaleka uzavřen.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Množinu všech možných výsledků pokusu (experimentu) značíme Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „/mathoid/local/v1/“:): \Omega . Jednotlivé možné výsledky pokusu značíme Nelze pochopit (Chyba konverze. Server („https://cs.wikipedia.org/api/rest_“) hlásí: „Cannot get mml. Server problem.“): \omega . Podmnožiny množiny Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „/mathoid/local/v1/“:): \Omega se nazývají (náhodné) jevy.

Klasická (Laplaceova) definice pravděpodobnosti[editovat | editovat zdroj]

Nechť náhodný pokus splňuje předpoklady:

  1. Všech možných výsledků je konečný počet.
  2. Všechny výsledky jsou stejně možné.
  3. Všechny výsledky se vzájemně vylučují.

Pravděpodobností jevu A pak nazveme číslo Nelze pochopit (Chyba konverze. Server („https://cs.wikipedia.org/api/rest_“) hlásí: „Cannot get mml. Server problem.“): P(A)={\frac {m}{n}} , kde Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „/mathoid/local/v1/“:): n je počet všech výsledků náhodného pokusu a Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „/mathoid/local/v1/“:): m je počet výsledků příznivých jevu A; Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „/mathoid/local/v1/“:): n=|\Omega | , Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „/mathoid/local/v1/“:): m=|A| .

Diskuse: Je zapotřebí zdůraznit, že Laplace uvedenou definici předložil jen jako jednoduchý a názorný zvláštní případ pro výpočet hodnoty pravděpodobnosti. Mnoho Laplaceových následovníků chybně usuzovalo, že Laplace chápal pravděpodobnost jen pro uvedené zjednodušení. To je však hrubý omyl. Naopak, Laplace předkládá ve svém díle i nástroje pro mnohem obecnější situaci. Například takové, které vyžadují úplnou formu součinového pravidla (de facto Bayesův teorém) a nevyžadují tudíž předpoklad, že všechny výsledky jsou apriori stejně možné. Anebo pro situace, které neumožňují mnohonásobné opakování experimentu ve statisticky stabilních podmínkách. Viz např. Laplaceův problém stanovení pravděpodobné hmotnosti Saturnu. Laplaceovo pojetí pravděpodobnosti je bayesovské – jako zobecnění logiky pro úlohy s neúplnou informací.

Statistická definice pravděpodobnosti[editovat | editovat zdroj]

Opakujme náhodný pokus Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „/mathoid/local/v1/“:): N -krát, přičemž předpokládejme, že výskyt náhodného jevu Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „/mathoid/local/v1/“:): A pozorujeme v Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „/mathoid/local/v1/“:): K případech. Číslo se nazývá četností jevu Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „/mathoid/local/v1/“:): A . Poměr Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „/mathoid/local/v1/“:): {\frac {K}{N}} se pak označuje jako poměrná či relativní četnost jevu Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „/mathoid/local/v1/“:): A . Jestliže se s rostoucím Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „/mathoid/local/v1/“:): N , tedy se zvyšováním počtu opakování pokusu, relativní četnost Nelze pochopit (Chyba konverze. Server („https://cs.wikipedia.org/api/rest_“) hlásí: „Cannot get mml. Server problem.“): {\frac {K}{N}} blíží nějakému číslu, pak toto číslo můžeme považovat za pravděpodobnost daného jevu.

Diskuse: Statistickou definici pravděpodobnosti označujeme též jako frekvencionistickou. Při velkém počtu pokusů se za jistých předpokladů bude relativní četnost blížit pravděpodobnosti daného jevu. Musí však platit, že statistický experiment probíhá ve statisticky ustálených podmínkách. Dále je zřejmé, že statistickou definici nelze dobře použít, pokud jev není opakovatelný. Klasickou i statistickou definicí tak získáme stejnou hodnotu pravděpodobnosti jen za poměrně silných (i když v praxi dosti častých) předpokladů.

Geometrická definice pravděpodobnosti[editovat | editovat zdroj]

Dalším příkladem definice pravděpodobnosti může být tzv. geometrická definice. Zde je definice pravděpodobnosti založena na porovnání objemů, ploch či délek geometrických útvarů. Uvažujme např. dvojrozměrnou situaci. Podle geometrické definice je pak pravděpodobnost jevu Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „/mathoid/local/v1/“:): A určena jako Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „/mathoid/local/v1/“:): P(A)={\frac {\omega }{S}} , kde Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „/mathoid/local/v1/“:): S je obsah plochy (představující např. všechny možné výsledky náhodného pokusu) a Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „/mathoid/local/v1/“:): \omega je celkový obsah plochy (která např. představuje výsledky, při nichž dojde k výskytu jevu Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „/mathoid/local/v1/“:): A ).

Diskuse: Také geometrická definice v uvedené formě vychází z předpokladu, že všechny výsledky náhodného pokusu jsou stejně pravděpodobné (obecněji – že všechny elementy uvažovaného geometrického objektu mají „stejnou váhu“). S pomocí součinového pravidla (Bayesova teorému) ji lze snadno zobecnit i na situace s libovolným apriorním rozdělením pravděpodobností (různou váhou elementů geometrického objektu). Geometrickou definici pravděpodobnosti tedy není nutné svazovat s nějakými opakovanými náhodnými pokusy. Geometrická definice v uvedené zjednodušené podobě je přirozeným východiskem pro definici pravděpodobnosti jako určité normované míry, popsané axiomaticky jazykem teorie množin (Kolmogorovova definice).

Kolmogorovova axiomatická definice[editovat | editovat zdroj]

Související informace naleznete také v článku Kolmogorovovy axiomy pravděpodobnosti.

Přiřazení pravděpodobnosti náhodnému jevu popisuje Kolmogorovova axiomatická definice pravděpodobnosti z roku 1933. Je-li Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „/mathoid/local/v1/“:): \Omega neprázdná množina a Nelze pochopit (Chyba konverze. Server („https://cs.wikipedia.org/api/rest_“) hlásí: „Cannot get mml. Server problem.“): S je σ algebra náhodných jevů definovaných na Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „/mathoid/local/v1/“:): \Omega , pak pravděpodobností se nazývá reálná funkce Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „/mathoid/local/v1/“:): P(A) definovaná na Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „/mathoid/local/v1/“:): S , která pro Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „/mathoid/local/v1/“:): A\in S a Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „/mathoid/local/v1/“:): A_{1},A_{2},...\in S,A_{i}\cap A_{j}=\emptyset ,i\neq j splňuje

  1. Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „/mathoid/local/v1/“:): P(A)\geq 0 , tzn. pravděpodobnost každého jevu je nezáporná
  2. Nelze pochopit (Chyba konverze. Server („https://cs.wikipedia.org/api/rest_“) hlásí: „Cannot get mml. Server problem.“): P(\Omega )=1 , tzn. pravděpodobnost jistého jevu je rovna 1.
  3. Nelze pochopit (Chyba konverze. Server („https://cs.wikipedia.org/api/rest_“) hlásí: „Cannot get mml. Server problem.“): P\left(\cup _{{i=1}}^{\infty }A_{i}\right)=\sum _{{i=1}}^{\infty }P(A_{i}) , tzn. pravděpodobnost sjednocení vzájemně se vylučujících jevů (tj. průnik každých dvou z nich je nemožný jev) je rovna součtu jejich pravděpodobností.

Z uvedených axiomů vyplývá následující:

  • Pravděpodobnost je číslo v intervalu Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „/mathoid/local/v1/“:): \langle 0,1\rangle , tzn. .
  • Nemožný jev má nulovou pravděpodobnost, tedy Nelze pochopit (Chyba konverze. Server („https://cs.wikipedia.org/api/rest_“) hlásí: „Cannot get mml. Server problem.“): P(\emptyset )=0 .
  • Pravděpodobnost sjednocení dvou navzájem se vylučujících jevů je rovna součtu jejich pravděpodobností, tzn. Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „/mathoid/local/v1/“:): P(A_{1}\cup A_{2})=P(A_{1})+P(A_{2}) . Tento důsledek lze zobecnit na sjednocení libovolného konečného počtu jevů, tzn. Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „/mathoid/local/v1/“:): P\left(\cup _{{i=1}}^{k}A_{i}\right)=\sum _{{i=1}}^{k}P(A_{i}) .
  • Pravděpodobnost opačného jevu je doplněk pravděpodobnosti výchozího jevu do jedné, tzn. Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „/mathoid/local/v1/“:): P(\overline {A})=1-P(A) .
  • Je-li Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „/mathoid/local/v1/“:): A částí jevu Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „/mathoid/local/v1/“:): B , pak pravděpodobnost jevu Nelze pochopit (Chyba konverze. Server („https://cs.wikipedia.org/api/rest_“) hlásí: „Cannot get mml. Server problem.“): A je menší nebo rovna pravděpodobnosti Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „/mathoid/local/v1/“:): B , tzn. Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „/mathoid/local/v1/“:): P(A)\leq P(B) .
  • Je-li Nelze pochopit (Chyba konverze. Server („https://cs.wikipedia.org/api/rest_“) hlásí: „Cannot get mml. Server problem.“): A částí jevu Nelze pochopit (Chyba konverze. Server („https://cs.wikipedia.org/api/rest_“) hlásí: „Cannot get mml. Server problem.“): B , pak pravděpodobnost rozdílu jevů Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „/mathoid/local/v1/“:): B-A je rovna rozdílu pravděpodobností obou jevů, tzn. Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „/mathoid/local/v1/“:): P(B-A)=P(B)-P(A) .

Kolmogorova definice je dostatečně obecná, neboť funkce Nelze pochopit (Chyba konverze. Server („https://cs.wikipedia.org/api/rest_“) hlásí: „Cannot get mml. Server problem.“): P může představovat míru na dané σ-algebře. Předchozí definice pak představují pouze speciální případy axiomatické definice. V praxi se však při výpočtu pravděpodobnosti často využívají.

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

  • Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „/mathoid/local/v1/“:): P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)
  • Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „/mathoid/local/v1/“:): P\left(\cup _{{i=1}}^{n}A_{i}\right)=\sum _{{i=1}}^{n}P(A_{i})-\sum _{{i=1}}^{{n-1}}\sum _{{j=i+1}}^{n}P(A_{i}\cap A_{j})+\sum _{{i=1}}^{{n-2}}\sum _{{j=i+1}}^{{n-1}}\sum _{{k=j+1}}^{n}P(A_{i}\cap A_{j}\cap A_{k})+\cdots +{(-1)}^{{n-1}}P\left(\cap _{{i=1}}^{n}A_{i}\right)
  • Pro posloupnost jevů Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „/mathoid/local/v1/“:): A_{1}\subset A_{2}\subset \cdots platí Nelze pochopit (Chyba konverze. Server („https://cs.wikipedia.org/api/rest_“) hlásí: „Cannot get mml. Server problem.“): P\left(\cup _{{i=1}}^{\infty }A_{i}\right)=\lim _{{i\to \infty }}P(A_{i})
  • Pro posloupnost jevů Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „/mathoid/local/v1/“:): A_{1}\supset A_{2}\supset \cdots platí Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „/mathoid/local/v1/“:): P\left(\cap _{{i=1}}^{\infty }A_{i}\right)=\lim _{{i\to \infty }}P(A_{i})

Podmíněná pravděpodobnost[editovat | editovat zdroj]

Podmíněnou pravděpodobností Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „/mathoid/local/v1/“:): P(A|B) jevu Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „/mathoid/local/v1/“:): A rozumíme pravděpodobnost výskytu jevu Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „/mathoid/local/v1/“:): A za předpokladu, že se vyskytl jev Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „/mathoid/local/v1/“:): B , přičemž Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „/mathoid/local/v1/“:): P(B)>0 . Pokud naopak předpoklad vypustíme, hovoříme o nepodmíněné pravděpodobnosti Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „/mathoid/local/v1/“:): P(A) jevu Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „/mathoid/local/v1/“:): A .

Podmíněnou pravděpodobnost jevu Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „/mathoid/local/v1/“:): A lze vyjádřit jako

Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „/mathoid/local/v1/“:): {\displaystyle P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{|A \cap B|}{|B|}.}

Máme-li náhodné jevy Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „/mathoid/local/v1/“:): A_{1},A_{2},...,A_{n} , pak pravděpodobnost jejich průniku je

Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „/mathoid/local/v1/“:): P\left(\cap _{{i=1}}^{n}A_{i}\right)=P(A_{1})P(A_{2}|A_{1})P(A_{3}|A_{1}\cap A_{2})\cdots P\left(A_{n}|\cap _{{i=1}}^{{n-1}}A_{i}\right)

Speciálním případem tohoto vztahu je pravděpodobnost průniku dvou jevů Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „/mathoid/local/v1/“:): A,B , tedy pravděpodobnost, že jevy Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „/mathoid/local/v1/“:): A,B nastanou současně. Podle tohoto vztahu je tato pravděpodobnost rovna součinu pravděpodobnosti jednoho jevu a podmíněné pravděpodobnosti jevu druhého, tzn.

Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „/mathoid/local/v1/“:): P\left(A\cap B\right)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)

Nezávislé jevy[editovat | editovat zdroj]

Řekneme, že jevy Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „/mathoid/local/v1/“:): A a Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „/mathoid/local/v1/“:): B jsou nezávislé, pokud pravděpodobnost jevu Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „/mathoid/local/v1/“:): A nezávisí na výskytu jevu Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „/mathoid/local/v1/“:): B , tj. Nelze pochopit (Chyba konverze. Server („https://cs.wikipedia.org/api/rest_“) hlásí: „Cannot get mml. Server problem.“): P(A|B)=P(A) ; definice s prohozenými jevy Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „/mathoid/local/v1/“:): A a Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „/mathoid/local/v1/“:): B je ekvivalentní. Podle vztahu pro podmíněnou pravděpodobnost tedy platí

Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „/mathoid/local/v1/“:): P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B) .

Uvedené tvrzení lze obrátit, tzn. jestliže platí Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „/mathoid/local/v1/“:): {\displaystyle P(A\cap B) = P(A) \cdot P(B)} , pak jsou jevy Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „/mathoid/local/v1/“:): A,B nezávislé.

Podobně řekneme o jevech Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „/mathoid/local/v1/“:): A_{1},A_{2},...,A_{n} , že jsou (navzájem) nezávislé právě tehdy, když pro každou podmnožinu Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „/mathoid/local/v1/“:): {\displaystyle Q \subseteq \{ A_1, A_2, ..., A_n \}} platí

Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „/mathoid/local/v1/“:): {\displaystyle P\left(\cap_{A \in Q} A\right) = \prod_{A \in Q} P(A).}

Všimněme si, že uvedená rovnost musí platit nejen pro průnik všech zmíněných jevů, ale také každé jejich podskupiny. Taková nezávislost bývá označována jako skupinová nezávislost jevů. Každý jev je totiž nezávislý nejen na ostatních jevech, ale je také nezávislý na (libovolných) průnicích ostatních jevů. Nezávislost jevů po dvou je typ nezávislosti, kdy každý jev je nezávislý na ostatních jevech, nemusí však být nezávislý na průnicích jiných jevů.

Příklad[editovat | editovat zdroj]

Mějme čtyři krabice, přičemž každá krabice má víko a uvnitř je koule. První krabice je bílá, uvnitř je bílá koule a víko krabice je také bílé. Druhá krabice je bílá, uvnitř je černá koule a víko je také černé. Třetí krabice je černá, uvnitř je černá koule a víko je bílé. Poslední krabice je černá, uvnitř je bílá koule a víko je černé.

Za náhodný jev Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „/mathoid/local/v1/“:): A budeme považovat, že náhodně vybraná krabice je černá, za jev Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „/mathoid/local/v1/“:): B vezmeme, že náhodně vybraná krabice obsahuje černou kouli, a jevem Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „/mathoid/local/v1/“:): C bude, že náhodně vybraná krabice má černé víko.

Z předchozího lze zjistit

Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „/mathoid/local/v1/“:): P(A)=P(B)=P(C)={\frac {1}{2}}

Pro současný výskyt dvojic jevů platí

Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „/mathoid/local/v1/“:): P(A\cap B)=P(A\cap C)=P(B\cap C)={\frac {1}{4}}

Vzhledem k tomu, že neexistuje žádná černá krabice s černou koulí a černým víkem, bude

Nelze pochopit (Chyba konverze. Server („https://cs.wikipedia.org/api/rest_“) hlásí: „Cannot get mml. Server problem.“): P(A\cap B\cap C)=0

Je tedy vidět, že náhodné jevy Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „/mathoid/local/v1/“:): A,B,C jsou po dvou nezávislé, avšak nejsou (navzájem) nezávislé.

Vzorec úplné pravděpodobnosti[editovat | editovat zdroj]

Jestliže jevy Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „/mathoid/local/v1/“:): A_{1},A_{2},...,A_{n} tvoří úplný systém jevů, pak pravděpodobnost libovolného jevu Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „/mathoid/local/v1/“:): B lze určit pomocí tzv. vzorce úplné pravděpodobnosti

Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „/mathoid/local/v1/“:): P(B)=\sum _{{i=1}}^{n}P(A_{i})P(B|A_{i})

Bayesův vzorec[editovat | editovat zdroj]

Mějme úplný systém jevů Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „/mathoid/local/v1/“:): A_{1},A_{2},...,A_{n} . Jestliže je výsledkem náhodného pokusu jev Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „/mathoid/local/v1/“:): B , pak k určení podmíněné pravděpodobnosti jevu Nelze pochopit (Chyba konverze. Server („https://cs.wikipedia.org/api/rest_“) hlásí: „Cannot get mml. Server problem.“): A_{i} vzhledem k jevu Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „/mathoid/local/v1/“:): B použijeme Bayesův vzorec, který zapisujeme

Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „/mathoid/local/v1/“:): P(A_{i}|B)={\frac {P(A_{i})P(B|A_{i})}{\sum _{{k=1}}^{n}P(A_{k})P(B|A_{k})}}

pro Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „/mathoid/local/v1/“:): i=1,2,...,n .

Rozdělení[editovat | editovat zdroj]

Rozdělení pravděpodobnosti je funkce, která přiřazuje pravděpodobnosti událostem nebo tvrzením. Pro každou sadu událostí existuje mnoho způsobů, jak přiřadit pravděpodobnost, takže výběr rozdělení odpovídá různým předpokladům o události.

Existuje několik způsobů, jak vyjádřit rozdělení pravděpodobnosti. Nejobvyklejší je uvést hustotu rozdělení pravděpodobnosti; samotná pravděpodobnost jevu se pak získá integrací funkce hustoty. Distribuční funkci lze také uvést přímo.

Rozdělení pravděpodobnosti nazveme diskrétní, pokud je definováno na spočetné, diskrétní množině, jako je podmnožina celých čísel. O spojitém rozdělení mluvíme v případě, že existuje spojitá distribuční funkce, např. polynomická nebo exponenciální. Většina rozdělení, které mají praktické využití, jsou buď diskrétní nebo spojité, ale existují i rozdělení, která nespadají do žádné z těchto dvou kategorií.

Důležitá diskrétní rozdělení jsou například jednoduché rozdělení, Poissonovo, binomické, negativní binomické a Maxwellovo–Boltzmannovo. Mezi důležitá spojitá rozdělení patří normální rozdělení, rozdělení gama, Studentovo rozdělení a exponenciální rozdělení.

Náhodné veličiny jsou proměnné, jejichž hodnoty při konstantních podmínkách závisí na náhodě, přičemž každá z těchto hodnot vystupuje s určitou pravděpodobností. Náhodné veličiny mohou být diskrétní nebo spojité a odpovídá jim diskrétní nebo spojitá distribuční funkce.

Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „/mathoid/local/v1/“:): F(x)=\Pr \left[X\leq x\right]

Tato funkce je monotónní, neklesající, má nejvýše spočetně mnoho bodů nespojitosti a je spojitá zleva.

Diskrétní distribuční funkce je určena náhodnou veličinou, která je diskrétní, tedy může nabývat jen konečně mnoha hodnot xi. Hodnoty xi jsou body nespojitosti a příslušné pravděpodobnosti jsou skoky disktribuční funkce v těchto bodech.

Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „/mathoid/local/v1/“:): F(x)=\Pr \left[X\leq x\right]=\sum _{{x_{i}\leq x}}p(x_{i}) pro Nelze pochopit (Chyba konverze. Server („https://cs.wikipedia.org/api/rest_“) hlásí: „Cannot get mml. Server problem.“): i=1,2,...\,\! .

Spojité náhodné veličině odpovídá spojitá distribuční funkce.

Nelze pochopit (Chyba konverze. Server („https://cs.wikipedia.org/api/rest_“) hlásí: „Cannot get mml. Server problem.“): \Pr \left[a\leq X\leq b\right]=\int _{a}^{b}f(x)\,dx

kde f(x) je funkce hustoty pravděpodobnosti.

Související články[editovat | editovat zdroj]