Plocha

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Tento článek pojednává o geometrické ploše. O virtuální ploše v počítači pojednává článek Plocha (operační systém).

Plocha označuje v matematice a fyzice dvojrozměrný geometrický útvar. Příkladem ploch jsou rovina, kulová plocha, povrch válce nebo kuželová plocha. Přesné matematické definice se v různých kontextech a v různých teoriích liší.

Výraz plocha se někdy nesprávně používá nejen pro označení geometrického útvaru, ale také pro označení obsahu geometrického útvaru.

Plochy v euklidovském prostoru[editovat | editovat zdroj]

V dalším předpokládejme, že plocha je podmnožina třírozměrného euklidovského prostoru. Můžeme ji definovat jako množinu všech bodů, jejichž souřadnice vyhovují rovnici

,

kde je funkce, která má v každém bodě spojitou parciální derivaci alespoň prvního řádu a na žádné otevřené množině není identicky rovna nule.

Body plochy, v nichž je alespoň jedna z těchto parciálních derivací nenulová, se nazývají regulární body plochy, zatímco body, v nichž jsou všechny parciální derivace prvního řádu nulové označujeme jako singulární body. Příkladem singulárního bodu je např. vrchol kužele.

Singulární bod, v němž funkce má alespoň jednu nenulovou parciální derivaci druhého řádu, se nazývá kónický bod plochy.

Plocha určená svojí normálou se označuje jako orientovaná plocha.

Rovnici plochy lze vyjádřit v různých tvarech.

Implicitní rovnice plochy[editovat | editovat zdroj]

Implicitní rovnice plochy má tvar

Parametrické rovnice[editovat | editovat zdroj]

Uvažujme plochu, jejíž souřadnice jsou vyjádřeny soustavou rovnic

Tato soustava rovnic představuje parametrické vyjádření plochy, přičemž jsou parametry plochy. Každou dvojici z určitého oboru nazýváme bodem plochy. Předpokládáme přitom, že tyto rovnice jsou na spojité a mají spojité nebo po částech spojité parciální derivace prvního řádu podle a .

Explicitní rovnice plochy[editovat | editovat zdroj]

Pokud lze předchozí rovnice plochy převést na tvar

,

pak hovoříme o explicitní rovnici plochy.

Základní rovnice plochy[editovat | editovat zdroj]

Vztahy mezi normálou plochy , rádiusvektorem a jejich derivacemi určují tzv. základní rovnice plochy. Tyto rovnice lze pro plochu určenou uvést v různých tvarech.

Weingartenovy rovnice plochy[editovat | editovat zdroj]

Weingartenovy rovnice plochy určují vztahy mezi derivacemi vektorů a .

kde jsou základní veličiny plochy prvního řádu a jsou základní veličiny plochy druhého řádu.

Gaussovy rovnice plochy[editovat | editovat zdroj]

Gaussovy rovnice plochy umožňují určit druhou derivaci polohového vektoru .

kde jsou základní veličiny plochy prvního řádu a jsou základní veličiny plochy druhého řádu.

Codazziho rovnice plochy[editovat | editovat zdroj]

Codazziho (nebo také Mainardiho) rovnice plochy určují vztahy mezi základními veličinami plochy prvního řádu a základními veličinami plochy druhého řádu .

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Body plochy, v nichž má tato matice hodnost jsou regulárními body. Je-li hodnost matice , pak jde o singulární body.

  • Máme-li plochu zadanou rovnicemi, které mají všude v nenulovou parciální derivaci prvního řádu a uvedená matice má v každém bodě hodnost , pak plochu označujeme jako hladkou.

Související články[editovat | editovat zdroj]


Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]