Válec

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Tento článek pojednává o geometrickém objektu. Další významy jsou uvedeny v článku Válec (rozcestník).

Válec je v prostorové geometrii těleso, vymezené dvěma rovnoběžnými podstavami a pláštěm. Plášť je rozvinutelná plocha, všechny povrchové (tvořící) přímky pláště jsou rovnoběžné a pokud jsou k podstavám kolmé, hovoříme o kolmém válci. V opačném případě se jedná o válec kosý. Vzdálenost mezi podstavami se nazývá výška válce. Vzdálenost mezi dvěma podstavami podél pláště (tj. podél povrchové přímky) se nazývá strana válce.

Je-li podstavou kruh, pak válec označíme jako kruhový. Kolmý kruhový válec nazýváme rotačním válcem. Přímku procházející středy obou podstav rotačního válce nazýváme osou rotace.

Rotační válec, r je poloměr a h je výška.

Rotační válec[editovat | editovat zdroj]

Nejčastěji se válcem rozumí rotační válec, kolmý válec, jehož podstavou je kruh. Má také řadu různých aplikací.

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

  • Pro objem rotačního válce platí

kde je poloměr podstavy a je výška válce.

  • Obsah pláště rotačního válce je
, obsah podstavy je

Pro obsah celého povrchu rotačního válce pak platí

  • Obecný řez válce rovinou je elipsa, je-li rovina kolmá k jeho ose, je to kružnice a je-li s osou rovnoběžná, je to obdélník nebo přímka.
  • Označíme-li si na podstavě válce libovolný bod (kromě středu) a pak valíme válec po rovině, pak označený bod opisuje cykloidu.

Válcová plocha a prostor[editovat | editovat zdroj]

Válcový prostor a plocha.

Jednoduchou představu rotačního válce lze rozšířit a zobecnit. Mějme jednoduchou uzavřenou křivku , která leží v rovině. Body, které leží na vzájemně rovnoběžných přímkách procházejících libovolným bodem křivky , tvoří válcovou plochu. Část prostoru ohraničená válcovou plochou se nazývá válcový prostor.

Rovnice[editovat | editovat zdroj]

Válcová plocha (kvadratický válec) bývá označována podle řídící křivky.

Obecný válec

Eliptický kvadratický válec[editovat | editovat zdroj]

Eliptický kvadratický válec lze vyjádřit rovnicí

Řídící křivkou eliptického válce je elipsa ležící v rovině s rovnicí a tvořící přímky válce jsou rovnoběžné s osou .

Pro se jedná o rotační válec s osou rotace .

Hyperbolický kvadratický válec[editovat | editovat zdroj]

Hyperbolický kvadratický válec lze vyjádřit rovnicí

Řídící křivkou hyperbolického válce je hyperbola ležící v rovině s rovnicí a tvořící přímky válce jsou rovnoběžné s osou .

Parabolický kvadratický válec[editovat | editovat zdroj]

Parabolický kvadratický válec lze vyjádřit rovnicí

Řídící křivkou parabolického válce je parabola ležící v rovině s rovnicí a tvořící přímky válce jsou rovnoběžné s osou .

Obecný válec[editovat | editovat zdroj]

Obecnou válcovou plochu, jejíž řídící křivka leží v rovině a má rovnici , a její tvořící přímky jsou rovnoběžné s osou , lze zapsat rovnicí

Obecně lze říci, že pokud v rovnici plochy chybí jedna z proměnných, pak se jedná o rovnici válcové plochy, jejíž tvořící přímky jsou rovnoběžné s osou, která odpovídá chybějící proměnné, a jejíž řídící křivka má stejnou rovnici jako daná plocha a leží v rovině kolmé k tvořícím přímkám.

Jsou-li tvořící přímky rovnoběžné s vektorem , pak lze rovnici válcové plochy převést na tvar

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Objem válce určíme ze vztahu

,

kde je obsah podstavy a je hloubka válce.

Obsah povrchu válce je dán vztahem

,

kde je obsah podstavy a je obsah pláště válce.

Odkazy[editovat | editovat zdroj]

Literatura[editovat | editovat zdroj]

  • Ottův slovník naučný, heslo Válec. Sv. 26, str. 351

Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]