Přeskočit na obsah

Rozdělení pravděpodobnosti

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Rozdělení pravděpodobnosti (někdy také distribuce pravděpodobnosti) náhodné veličiny je pravidlo, kterým se každému jevu popisovanému touto veličinou přiřazuje určitá pravděpodobnost. Rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny vznikne, pokud je každé hodnotě diskrétní náhodné veličiny nebo intervalu hodnot spojité náhodné veličiny přiřazena pravděpodobnost.

Rozdělení pravděpodobnosti lze také chápat jako zobrazení, které každému intervalu (nebo sjednocení intervalů) možných hodnot náhodné veličiny přiřazuje určité reálné číslo, které charakterizuje jeho pravděpodobnost.

Obecná formální definice

[editovat | editovat zdroj]

Nechť je pravděpodobnostní prostor, je Borelova σ-algebra, je měřitelný prostor a nechť je náhodná veličina. Pak rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny je funkce definovaná vztahem .

Obvykle bude . Platí, že je pravděpodobnostní míra na , oproti tomu původní je míra na nějaké obecné σ-algebře . Pojem rozdělení pravděpodobnosti nám tedy umožňuje jednotným způsobem počítat kvantitativní charakteristiky různých náhodných veličin , aniž bychom museli zohledňovat původní prostor .

Tato definice zahrnuje diskrétní i spojitá rozdělení, ale je ve své obecnosti užitečná spíše jen v teorii. Pro praktické výpočty reprezentujeme pro zjednodušení kalkulací rozdělení pravděpodobnosti hustotou pravděpodobnosti resp. pravděpodobnostní funkcí, distribuční funkcí nebo kvantilovou funkcí, které v principu nesou stejnou informaci jako výše uvedená definice a jejich použití je více specializované.

Použití pojmu pravděpodobnostního rozdělení oproti pojmu náhodné veličiny vede ke ztrátě informace o možných jevech s nulovou pravděpodobností; tento teoretický problém je ale v praktických aplikacích typicky bezvýznamný.

Rozdělení pravděpodobnosti diskrétní náhodné veličiny

[editovat | editovat zdroj]

Pravděpodobnost, že diskrétní náhodná veličina bude mít po provedení náhodného pokusu hodnotu , značíme , nebo stručně .

Výsledkem jednoho náhodného pokusu je to, že náhodná veličina bude mít právě jednu hodnotu. Všechny hodnoty definičního oboru náhodné veličiny tedy představují úplný systém neslučitelných jevů, což znamená, že součet pravděpodobností všech možných hodnot diskrétní náhodné proměnné je roven 1, tzn.

Pravděpodobnostní funkce

[editovat | editovat zdroj]

Rozdělení pravděpodobnosti diskrétní náhodné veličiny se tedy vyjádří tak, že se určí pravděpodobnost pro všechna definičního oboru veličiny . Pravděpodobnosti jednotlivých hodnot jsou tedy vyjádřeny funkcí , která se nazývá pravděpodobnostní funkce.

Demonstrace diskrétního rozdělení pravděpodobnosti

Hodnoty pravděpodobností funkce vyjadřujeme obvykle tabulkou, např.

x P(x)

Také se používá vyjádření ve formě grafu (viz obrázek). V některých případech lze také použít vyjádření pomocí matematického vzorce.

Znalost pravděpodobnostní funkce lze použít k výpočtu pravděpodobnosti. Například pravděpodobnost, že náhodná veličina leží mezi hodnotami a , se určí jako

Distribuční funkce diskrétní veličiny

[editovat | editovat zdroj]

Pomocí pravděpodobnostní funkce lze zavést distribuční funkci vztahem

Distribuční funkce je neklesající a je spojitá zprava. Hodnoty distribuční funkce leží v rozsahu . Pro diskrétní náhodnou veličinu lze pro libovolné reálné číslo vyjádřit distribuční funkci vztahem

Vlastnosti

[editovat | editovat zdroj]

Jestliže hodnoty náhodné veličiny leží v intervalu , pak a .

Distribuční funkci lze, podobně jako pravděpodobnostní funkci, použít k výpočtu pravděpodobnosti, neboť

Důležitá diskrétní rozdělení

[editovat | editovat zdroj]

Rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny

[editovat | editovat zdroj]
Distribuční funkce několika normálních rozdělení s různými charakteristikami. Červenou čárou je vyznačeno normované normální rozdělení.
Hustota pravděpodobnosti několika normálních rozdělení.

Spojitá náhodná veličina má spojitou distribuční funkci . Rozdělení spojité náhodné veličiny nelze popsat pravděpodobnostní funkcí v určitém bodě.

Hustota pravděpodobnosti

[editovat | editovat zdroj]
Podrobnější informace naleznete v článku Hustota pravděpodobnosti.

Hustota pravděpodobnosti je funkce, jejíž hodnotu pro libovolný zvolený prvek z množiny možných vzorků (hodnot náhodné proměnné) lze interpretovat jako relativní četnost hodnoty tohoto prvku v rámci celé množiny možných vzorků daného času.

Rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny se určuje prostřednictvím funkce, která se nazývá hustota rozdělení pravděpodobnosti (hustota pravděpodobnosti, anglicky Probability Density Function, PDF). Pro spojitou náhodnou veličinu obecně neplatí, že také hustota pravděpodobnosti je spojitá.

Je-li hustota pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny , pak platí

,

kde je definiční obor veličiny . Pro hodnoty mimo definiční obor je hustota pravděpodobnosti nulová, takže pro .

Ze znalosti hustoty pravděpodobnosti je možné určit pravděpodobnost, že náhodná veličina nabývá hodnotu z intervalu , tedy

Pravděpodobnost, že spojitá náhodná veličina nabývá určité (přesně dané) hodnoty, je nulová, což plyne z předchozího vztahu. Důsledkem toho je, že pro spojitou náhodnou veličinu platí vztahy

Distribuční funkce spojité veličiny

[editovat | editovat zdroj]

Distribuční funkce jednorozměrné reálné náhodné veličiny se definuje jako pravděpodobnost, že realizace této náhodné veličiny nepřekročí :

Distribuční funkce je neklesající, zprava spojitá, její limita je nula, v pak jedna.

Komplementární distribuční funkce se pak definuje jako .

Pro spojitou náhodnou veličinu s hustotou pravděpodobnosti se distribuční funkce dá spočítat také podle vztahu

Vlastnosti

[editovat | editovat zdroj]

Platí, že a .

Distribuční funkci lze použít k výpočtu pravděpodobnosti, neboť

Lze dokázat, že mezi hustotou pravděpodobnosti a distribuční funkcí platí vztah

,

pokud derivace distribuční funkce v daném bodě existuje.

Důležitá spojitá rozdělení

[editovat | editovat zdroj]

Vícerozměrné rozdělení pravděpodobnosti

[editovat | editovat zdroj]

Sdružená a marginální pravděpodobnost

[editovat | editovat zdroj]

Mějme -rozměrný náhodný vektor , jehož složkami jsou diskrétní náhodné veličiny . Jejich rozdělení lze popsat sdruženou (simultánní) pravděpodobností

Tento vztah udává pravděpodobnost, že náhodná veličina nabude hodnotu , náhodná veličina nabude hodnoty , atd. pro všechna a .

Pro sdružené pravděpodobnosti zobrazují v korelační tabulce

x Součet
Součet 1

Pravděpodobnosti a jsou marginální (okrajové) pravděpodobnosti. Platí tedy

Dále platí

Sdružená a marginální distribuční funkce

[editovat | editovat zdroj]

Sdruženou (simultánní) distribuční funkci lze pro -rozměrný náhodný vektor diskrétních veličin definovat jako

Sdružená distribuční funkce (pro dvě proměnné X, Y) splňuje podmínky

Podobné podmínky platí také pro vícerozměrné náhodné vektory.

Marginální (okrajové) distribuční funkce lze pro vektor dvou proměnných a zapsat vztahy

Podobně lze marginální distribuční funkce určit také v případě vícerozměrných náhodných vektorů.

Sdružená a marginální hustota pravděpodobnosti

[editovat | editovat zdroj]

Rozdělení dvou spojitých náhodných veličin je možné popsat sdruženou hustotou pravděpodobnosti . Sdružená hustota pravděpodobnosti musí splňovat podmínku

Marginální hustoty pravděpodobnosti se určí jako

Sdruženou distribuční funkci pak je

Ze sdružené distribuční funkce lze naopak získat sdruženou hustotu pravděpodobnosti


Podobně lze postupovat také v případě -rozměrných vektorů spojitých náhodných veličin. Sdruženou hustotu pravděpodobnosti je pak možné získat jako

Marginální pravděpodobnost lze definovat pro libovolnou skupinu veličin () daného -rozměrného náhodného vektoru. Rozdělení je závislé pouze na daných veličinách a na zbývajících veličinách nezávisí. Pro je nutno rozlišovat podvojnou nezávislost a nezávislost vzájemnou.

Jsou-li veličiny vzájemně nezávislé, pak platí

Podmíněné rozdělení pravděpodobnosti

[editovat | editovat zdroj]

Podmíněné rozdělení náhodné veličiny vzhledem k veličině je rozdělení veličiny za podmínky, že náhodná veličina nabyla hodnoty .

Podmíněné rozdělení je definováno jako podíl rozdělení sdruženého a marginálního.

Pro dvě diskrétní náhodné veličiny je možné podmíněnou pravděpodobnost veličiny vzhledem k  zapsat jako

pro , kde je marginální pravděpodobnost a je pravděpodobnost sdružená.

Obdobně vznikne pro podmíněnou pravděpodobnost veličiny vzhledem k  vztah

pro , kde je marginální pravděpodobnost a je opět sdružená pravděpodobnost.

Podmíněná distribuční funkce

[editovat | editovat zdroj]

Podmíněné distribuční funkce zapsat zapsat jako

Podmíněná hustota pravděpodobnosti

[editovat | editovat zdroj]

U dvourozměrného náhodného vektoru, jehož složkami jsou spojité náhodné veličiny a , lze podmíněné hustoty pravděpodobnosti vyjádřit jako

pro a

pro , kde je sdružená hustota pravděpodobnosti a a jsou marginální hustoty pravděpodobnosti.

Pro podmíněné distribuční funkce spojitých náhodných veličin pak platí

Charakteristiky rozdělení náhodné veličiny

[editovat | editovat zdroj]
Související informace naleznete také v článku Charakteristika náhodné veličiny.

Charakteristiky náhodné veličiny jsou vhodně vybrané číselné údaje, které shrnují základní informace o rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny. Charakteristiky poskytují pouze základní a hrubou představu o náhodné veličině, neboť charakteristiky (obvykle) nepostačují k jednoznačnému popisu rozdělení pravděpodobnosti. Naproti tomu rozdělení pravděpodobnosti sice poskytuje jednoznačný popis náhodné veličiny, obvykle však není dostatečně přehledné.

Důležitými charakteristikami rozdělení jsou střední hodnota a rozptyl.

Literatura

[editovat | editovat zdroj]

Související články

[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy

[editovat | editovat zdroj]