Cauchyho rozdělení

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Cauchyho rozdělení, nazývané též Cauchy-Lorentzovo rozdělení po Augustinu Cauchyovi a Hendriku Lorentzovi, je spojité pravděpodobnostní rozdělení. Jako rozdělení pravděpodobnosti je známo jako Cauchyho rozdělení, zatímco většina fyziků ho zná jako Lorentzovo rozdělení, Lorentzova funkce nebo Breit-Wignerovo rozdělení. Má význam ve fyzice, protože je řešením diferenciální rovnice popisující silnou rezonanci. Ve spektroskopii popisuje rozložení spektrálních čar.

Charakteristika[editovat | editovat zdroj]

Hustota pravděpodobnosti[editovat | editovat zdroj]

Cauchyho rozdělení. Na obrázku je parametr λ nazván γ

Cauchyho rozdělení pravděpodobnosti s parametry a a λ, pro -\infty<a<\infty a \lambda>0, je definováno hustotou pravděpodobnosti ve tvaru

\begin{align}
f(x; a,\lambda) &= \frac{1}{\pi\lambda \left[1 + \left(\frac{x-a}{\lambda}\right)^2\right]} \\[0.5em]
&= { 1 \over \pi } \left[ {\lambda \over (x - a)^2 + \lambda^2  } \right]
\end{align}

kde a = x0 je parametr, určující umístění největší hodnoty rozdělení.

Zvláštní případ, kdy a = x0 = 0 a λ = 1 se nazývá standardní Cauchyho rozdělení s hustotou pravděpodobnosti vyjádřenou vztahem

 f(x; 0,1) = \frac{1}{\pi (1 + x^2)}. \!

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Cauchyho rozdělení je příkladem rozdělení, které nemá střední hodnotu ani rozptyl. Jeho modus a medián se oba rovnají a = x0.

Pokud U a V jsou dvě nezávislé normálně rozdělené náhodné veličiny se střední hodnotou 0 a rozptylem 1, potom zlomek U/V má standardní Cauchyho rozdělení.

Pokud X1, …, Xn jsou nezávisle a stejně rozdělené náhodné veličiny, každá se standardním Cauchyovým rozdělením, pak aritmetický průměr (X1 + … + Xn)/n má stejné Cauchyho rozdělení.

Charakteristická funkce[editovat | editovat zdroj]

Nechť X značí náhodnou proměnnou (náhodný vektor), která splňuje Cauchyho rozdělení. Charakteristická funkce Cauchyho rozdělení je pak definována:

\phi_x(t; a,\gamma) = \mathrm{E}(e^{i\,X\,t}) = \exp(i\,a\,t-\gamma\,|t|)\!, kde a = x0 je místní parametr.

Související rozdělení[editovat | editovat zdroj]

  • Standardní Cauchyho (0,1) rozdělení vzniká jako speciální případ Studentova rozdělení s jedním stupněm volnosti.

Relativistické Breit-Wignerovo rozdělení[editovat | editovat zdroj]

V jaderné fyzice a částicové fyzice, je energetický profil rezonance popsán relativistickým Breit-Wignerovým rozdělením.

Související články[editovat | editovat zdroj]

Zdroje[editovat | editovat zdroj]

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Cauchy distribution na anglické Wikipedii.

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]

Logo Wikimedia Commons
Wikimedia Commons nabízí obrázky, zvuky či videa k tématu

anglicky