Cauchyho rozdělení

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Cauchyho rozdělení, nazývané též Cauchy-Lorentzovo rozdělení po Augustinu Cauchyovi a Hendriku Lorentzovi, je spojité pravděpodobnostní rozdělení. Jako rozdělení pravděpodobnosti je známo jako Cauchyho rozdělení, zatímco většina fyziků ho zná jako Lorentzovo rozdělení, Lorentzova funkce, Lorentzova křivka nebo Breit-Wignerovo rozdělení. Má význam ve fyzice, protože je řešením diferenciální rovnice popisující silnou rezonanci. Ve spektroskopii popisuje rozložení spektrálních čar.

CharakteristikaEditovat

Hustota pravděpodobnostiEditovat

Cauchyho rozdělení. Na obrázku je parametr a označen x_0 a λ jako γ

Cauchyho rozdělení pravděpodobnosti s parametry a a λ, pro -\infty<a<\infty a \lambda>0, je definováno hustotou pravděpodobnosti ve tvaru

\begin{align}
f(x; a,\lambda) &= \frac{1}{\pi\lambda \left[1 + \left(\frac{x-a}{\lambda}\right)^2\right]} \\[0.5em]
&= { 1 \over \pi } \left[ {\lambda \over (x - a)^2 + \lambda^2  } \right]
\end{align}

kde a je parametr polohy a λ parametr variability rozdělení.

Zvláštní případ, kdy a=0 a λ=1, se nazývá standardní Cauchyho rozdělení s hustotou pravděpodobnosti vyjádřenou vztahem

 f(x) = \frac{1}{\pi (1 + x^2)}.

VlastnostiEditovat

  • modus i medián C. rozdělení se rovnají a.
  • Cauchyho rozdělení je příkladem rozdělení, které nemá střední hodnotu ani rozptyl.
  • Pokud X1, …, Xn jsou nezávislé stejně rozdělené náhodné veličiny se standardním Cauchyovým rozdělením, pak jejich aritmetický průměr (X1 + … + Xn)/n má opět standardní Cauchyho rozdělení.

Charakteristická funkceEditovat

Nechť X značí náhodnou veličinu s Cauchyho rozdělením s parametry a, λ. Jeho Charakteristická funkce je pak rovna:

\phi_X(t; a,\gamma) = \mathrm{E}(e^{i\,X\,t}) = \exp(i\,a\,t-\gamma\,|t|)\!.

Související rozděleníEditovat

  • Standardní Cauchyho rozdělení vzniká jako speciální případ Studentova rozdělení s jedním stupněm volnosti.

Relativistické Breit-Wignerovo rozděleníEditovat

V jaderné fyzice a částicové fyzice, je energetický profil rezonance popsán relativistickým Breit-Wignerovým rozdělením.

ZdrojeEditovat

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Cauchy distribution na anglické Wikipedii.

Externí odkazyEditovat

anglicky