Cauchyho rozdělení

Cauchyho rozdělení, nazývané též Cauchy-Lorentzovo rozdělení po Augustinu Cauchyovi a Hendriku Lorentzovi, je jedním ze spojitých pravděpodobnostních rozdělení. Jako rozdělení pravděpodobnosti je známo jako Cauchyho rozdělení, zatímco většina fyziků ho zná jako Lorentzovo rozdělení, Lorentzova funkce, Lorentzova křivka nebo Breit-Wignerovo rozdělení. Má význam ve fyzice, protože je řešením diferenciální rovnice popisující silnou rezonanci. Ve spektroskopii popisuje rozložení spektrálních čar.

Charakteristika

Hustota pravděpodobnosti

Cauchyho rozdělení. Na obrázku je parametr $a$ označen $x_{0}$ a λ jako γ

Cauchyho rozdělení pravděpodobnosti s parametry a a λ, pro $-\infty <a<\infty$ a $\lambda >0$, je definováno hustotou pravděpodobnosti ve tvaru

${\begin{aligned}f(x;a,\lambda )&={\frac {1}{\pi \lambda \left[1+\left({\frac {x-a}{\lambda }}\right)^{2}\right]}}\\[0.5em]&={1 \over \pi }\left[{\lambda \over (x-a)^{2}+\lambda ^{2}}\right]\end{aligned}}$

kde a je parametr polohy a λ parametr variability rozdělení.

Zvláštní případ, kdy a=0 a λ=1, se nazývá standardní Cauchyho rozdělení s hustotou pravděpodobnosti vyjádřenou vztahem

$f(x)={\frac {1}{\pi (1+x^{2})}}.$

Vlastnosti

• modus i medián C. rozdělení se rovnají a.
• Cauchyho rozdělení je příkladem rozdělení, které nemá střední hodnotu ani rozptyl.
• Pokud X₁, …, X_n jsou nezávislé stejně rozdělené náhodné veličiny se standardním Cauchyovým rozdělením, pak jejich aritmetický průměr (X₁ + … + X_n)/n má opět standardní Cauchyho rozdělení.

Charakteristická funkce

Nechť X značí náhodnou veličinu s Cauchyho rozdělením s parametry a, λ. Jeho Charakteristická funkce je pak rovna:

$\phi _{X}(t;a,\lambda )=\mathrm {E} (e^{i\,X\,t})=\exp(i\,a\,t-\lambda \,|t|)\!$.

Související rozdělení

• Pokud má náhodná veličina U standardní rovnoměrné rozdělení, má n. v. $X=cotg(\pi U)$ standardní Cauchyho rozdělení.

• Standardní Cauchyho rozdělení vzniká jako speciální případ Studentova rozdělení s jedním stupněm volnosti.

• Pokud U a V jsou dvě nezávislé normálně rozdělené náhodné veličiny se střední hodnotou 0 a rozptylem 1, tak jejich podíl U/V má standardní Cauchyho rozdělení.

Relativistické Breit-Wignerovo rozdělení

V jaderné fyzice a částicové fyzice, je energetický profil rezonance popsán relativistickým Breit-Wignerovým rozdělením.

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Cauchy distribution na anglické Wikipedii.

• Rektorys, K. a spol.: Přehled užité matematiky II.. Prometheus, Praha, 2003, 6. přepracované vydání. ISBN 80-85849-62-3

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Cauchyho rozdělení na Wikimedia Commons

anglicky

• Cauchyho rozdělení na MathWorldu.
• GNU Scientific Library - Reference Manual
• Online kalkulátor- Cauchyho rozdělení

Portály: Matematika