Diferenciální rovnice

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání

Diferenciální rovnice jsou matematické rovnice, ve kterých jako proměnné vystupují funkce a jejich derivace. Diferenciální rovnice stojí v základech fyziky a jejich aplikace najdeme ve většině oblastí lidského vědění. Pořadí derivací v rovnici může být odlišné (formálně není ničím omezeno). Derivace, funkce, nezávislé proměnné a parametry mohou vstupovat do rovnice v různých kombinacích nebo mohou úplně chybět, s výjimkou alespoň jedné derivace. Ne každá rovnice obsahující derivace neznámé funkce je diferenciální rovnicí. Například, f '(x) = f (f (x)) není diferenciální rovnice.

Matematická teorie diferenciálních rovnic se zabývá existencí řešení, jednoznačností (čili zda je řešení jen jedno), závislostí řešení na počátečních a okrajových podmínkách.

Na rozdíl od algebraických rovnic, při kterých se hledá číslo (několik čísel), při řešení diferenciálních rovnic se hledá funkce (systém funkcí).

Ve fyzice a dalších aplikacích je zajímavé zejména získání analytického řešení, tedy funkce u(t), která rovnici řeší. Pokud taková funkce nejde analyticky vyjádřit, vstupuje do hry numerické řešení diferenciálních rovnic.

Diferenciální rovnice řádu vyššího než prvního lze transformovat do soustavy diferenciálních rovnic prvního řádu, ve kterém je počet rovnic roven řádu původní diferenciální rovnice.

Typy diferenciálních rovnic[editovat | editovat zdroj]

Základní dělení diferenciálních rovnic je podle typu obsažených derivací:

Většinou jde o rovnice typu: Pokud je dáno diferenciálních rovnic pro neznámých funkcí, pak hovoříme o soustavě diferenciálních rovnic.

Řád diferenciální rovnice je řád nejvyšší derivace, která je v ní obsažená. Za řád soustavy diferenciálních rovnic považujeme hodnotu nejvyšší derivace, která se v soustavě vyskytuje. Podle řádu bývají diferenciální rovnice děleny na diferenciální rovnice prvního řádu a diferenciální rovnice vyšších řádů.

Diferenciální rovnice, v nichž se hledaná funkce vyskytuje pouze lineárně, přičemž se nikde nevyskytují ani součiny hledané funkce s jejími derivacemi, ani součiny derivací této funkce, označujeme jako lineární diferenciální rovnice. Pokud jedna z uvedených podmínek není splněna, hovoříme o nelineárních diferenciálních rovnicích.

Řešení rovnice[editovat | editovat zdroj]

Za řešení (integrál) diferenciální rovnice (v daném oboru) považujeme každou funkci, která má příslušné derivace a vyhovuje dané diferenciální rovnici. Řešením (integrálem) soustavy diferenciálních rovnic je množina funkcí s derivacemi potřebného řádu, které vyhovují všem rovnicím dané soustavy.

Řešení diferenciálních rovnic dělíme na
  • obecné – Jako obecné řešení označujeme takové řešení diferenciální rovnice, které obsahuje libovolnou integrační konstantu. Přiřadíme-li každé konstantě obecného řešení určitou číselnou hodnotu, získáme řešení partikulární.
  • partikulární (částečné) – Partikulární (částečné) řešení je řešení diferenciální rovnice, které získáme přiřazením určité číselné hodnoty každé integrační konstantě obecného řešení.
  • singulární (výjimečné) – Některá řešení nelze získat z obecného řešení. Taková řešení, která se vyskytují pouze u některých rovnic, popř. v některých bodech oboru, označujeme jako singulární nebo výjimečná.
  • homogenní

Partikulární řešení můžeme v případě jednoduchých diferenciálních rovnic vypočítat analyticky. Nicméně ve velkém množství případů je analytické řešení příliš obtížné a diferenciální rovnice se řeší numericky.

Příklad[editovat | editovat zdroj]

Stojí-li v místnosti sklenice s horkým čajem, ubývá z ní teplo rychlostí, která je přímo úměrná rozdílu mezi teplotou čaje a teplotou v místnosti (kterou pro jednoduchost pokládejme za konstantní). Koeficient této úměrnosti značme . Máme tedy diferenciální rovnici

a chceme najít všechny funkce (závislost teploty na čase), které ji splňují.

Tato rovnice je tedy podle výše uvedené klasifikace obyčejná diferenciální rovnice 1. řádu.

Řešení příkladu[editovat | editovat zdroj]

lze chápat jako diferenciál, tedy funkci dvou proměnných . Zlomek v tomto významu se rovná derivaci podle (proto se derivace takto značí). Díky tomu lze uvedenou rovnici upravit:

Strany rovnice se rovnají, právě když se rovnají jejich neurčité integrály (rozdíl obou integračních konstant označme ).

Vypočtením těchto integrálů obdržíme

Strany se rovnají, právě když se rovnají jejich exponenciály. Pro názornost předpokládejme :

To lze upravit na

Tato diferenciální rovnice má tedy nekonečně mnoho řešení, přičemž různé hodnoty c odpovídají různým funkcím T(t), které popisují chladnutí čaje s různou počáteční teplotou.

Software[editovat | editovat zdroj]

Reference[editovat | editovat zdroj]

  1. dsolve [online]. [cit. 2020-05-12]. Dostupné online. 
  2. Basic Algebra and Calculus — Sage Tutorial v9.0. doc.sagemath.org [online]. [cit. 2020-05-12]. Dostupné online. 
  3. Symbolic algebra and Mathematics with Xcas [online]. [cit. 2020-05-12]. Dostupné online. 

Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]