Charakteristická funkce

Jako charakteristická funkce se v matematice označuje taková funkce, která pro nějakou podmnožinu A dané množiny X indikuje, které prvky X patří do A.

Definice

$\chi _{A}:X\rightarrow \{0,1\}$$\chi _{A}:X\rightarrow \{0,1\}$ je charakteristická funkce množiny A v množině X, pokud platí

$\chi _{A}(x)=\left\{{\begin{matrix}1&{\mbox{pokud}}\ x\in A,\\0&{\mbox{pokud}}\ x\notin A.\end{matrix}}\right.$$\chi _{A}(x)=\left\{{\begin{matrix}1&{\mbox{pokud}}\ x\in A,\\0&{\mbox{pokud}}\ x\notin A.\end{matrix}}\right.$

Značení

Značení charakteristické funkce není jednotné, mimo $\chi _{A}(x)$$\chi _{A}(x)$ se používá také $1_{A}(x)$$1_{A}(x)$, $c_{A}(a)$$c_{A}(a)$ či dokonce jen A(x) (zejména v teorii vyčíslitelnosti).

Vlastnosti

Jsou-li A a B dvě podmnožiny množiny X, pak platí

$\chi _{A\cap B}=\min\{\chi _{A},\chi _{B}\}=\chi _{A}\cdot \chi _{B},\,$$\chi _{A\cap B}=\min\{\chi _{A},\chi _{B}\}=\chi _{A}\cdot \chi _{B},\,$

$\chi _{A\cup B}=\max\{{\chi _{A},\chi _{B}}\}=\chi _{A}+\chi _{B}-\chi _{A}\cdot \chi _{B},$$\chi _{A\cup B}=\max\{{\chi _{A},\chi _{B}}\}=\chi _{A}+\chi _{B}-\chi _{A}\cdot \chi _{B},$

Speciální tvary

• pokud je charakteristická funkce množiny A obecně rekurzivní, je množina A rekurzivní

Související články

• Dirichletova funkce
• Fuzzy množina