Střední hodnota

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Střední hodnota je nejznámější míra polohy ve statistice. Často se nazývá populační průměr.

Střední hodnota náhodné veličiny se značí , nebo také .

Definice[editovat | editovat zdroj]

Střední hodnota je parametr rozdělení náhodné veličiny, který je definován jako vážený průměr daného rozdělení. V řeči teorie míry se jedná o hodnotu

,

kde je pravděpodobnostní míra určující rozdělení náhodné veličiny . Pokud výraz na pravé straně nekonverguje absolutně, pak říkáme, že střední hodnota neexistuje.

Speciálně:

.
  • Má-li náhodná veličina diskrétní rozdělení kde pro nejvýše spočetnou množinu různých výsledků, pak

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Střední hodnota konstanty je

Pro střední hodnotu součinu náhodné veličiny a konstanty platí

Střední hodnota součtu dvou náhodných veličin je rovna součtu středních hodnot těchto veličin, tedy

Tento vztah lze samozřejmě zobecnit na součet libovolného počtu náhodných veličin.

Pro nezávislé náhodné veličiny je střední hodnota součinu těchto veličin rovna součinu jejich středních hodnot, tzn.

Tento vztah je možné zobecnit pro součin libovolného počtu vzájemně nezávislých náhodných veličin!

Příklady[editovat | editovat zdroj]

Diskrétní náhodná veličina[editovat | editovat zdroj]

Mějme náhodnou veličinu, která s pravděpodobností 0,3 nabývá hodnoty 1, s pravděpodobností 0,2 nabývá hodnoty 2 a s pravděpodobností 0,5 nabývá hodnoty 3.

Střední hodnota je pak (0,3 × 1) + (0,2 × 2) + (0,5 × 3) = 2,2.

Spojitá náhodná veličina[editovat | editovat zdroj]

Mějme náhodnou veličinu, jejíž hustota pravděpodobnosti je na intervalu <0,1> f(x)=2x , jinde identicky rovna 0. To je rozdělení, v němž je hustota pravděpodobnosti přímo úměrná hodnotě x. Potom střední hodnota je integrálem x*2x na intervalu <0,1>. Výsledkem je střední hodnota 2/3.

Související články[editovat | editovat zdroj]