Střední hodnota

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání

Střední hodnota je nejznámější míra polohy ve statistice. Často se nazývá očekávaná hodnota (odtud značka E = Expected, anglicky očekávaný) nebo populační průměr případně první moment.

Střední hodnota náhodné veličiny se značí , nebo také . Střední hodnota náhodné proměnné je klíčovým aspektem jejího rozdělení pravděpodobnosti. Střední hodnota diskrétní náhodné veličiny je pravděpodobnostně vážený průměr všech jejích možných hodnot, pro spojitou náhodnou proměnnou je součet nahrazen integrálem proměnné vzhledem k její hustotě pravděpodobnosti.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Střední hodnota náhodné veličiny je funkcionál jejího rozdělení, jenž je obecně definován jako následující Lebesgueův integrál (který lze chápat jako jakýsi „vážený průměr“ veličin z daného rozdělení, jejichž váhou je pravděpodobnost výskytu):

,

kde je pravděpodobnostní míra určující rozdělení náhodné veličiny . Pokud výraz na pravé straně nekonverguje absolutně, pak říkáme, že střední hodnota neexistuje.

Speciálně:

.
  • Má-li náhodná veličina diskrétní rozdělení kde pro nejvýše spočetnou množinu různých výsledků, pak

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Střední hodnota konstanty je

Pro střední hodnotu součinu náhodné veličiny a konstanty platí

Střední hodnota součtu dvou náhodných veličin je rovna součtu středních hodnot těchto veličin, tedy

Tento vztah lze samozřejmě zobecnit na součet libovolného počtu náhodných veličin.

Pro nezávislé náhodné veličiny je střední hodnota součinu těchto veličin rovna součinu jejich středních hodnot, tzn.

Tento vztah je možné zobecnit pro součin libovolného počtu vzájemně nezávislých náhodných veličin.

Podmíněná střední hodnota:

kde a jsou náhodné vektory

Příklady[editovat | editovat zdroj]

Diskrétní náhodná veličina[editovat | editovat zdroj]

Mějme náhodnou veličinu, která s pravděpodobností 0,3 nabývá hodnoty 1, s pravděpodobností 0,2 nabývá hodnoty 2 a s pravděpodobností 0,5 nabývá hodnoty 3.

Střední hodnota je pak (0,3 × 1) + (0,2 × 2) + (0,5 × 3) = 2,2.

Spojitá náhodná veličina[editovat | editovat zdroj]

Mějme náhodnou veličinu, jejíž hustota pravděpodobnosti na intervalu <0,1> je f(x) = 2x , jinde identicky rovna nule. To je rozdělení, v němž je hustota pravděpodobnosti přímo úměrná hodnotě x.

Potom střední hodnotu lze z definice spočítat pomocí integrálu

.

Střední hodnota uvedené náhodné veličiny tedy je 23.

Související články[editovat | editovat zdroj]

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Expected value na anglické Wikipedii.