Studentovo rozdělení

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Studentovo rozdělení (t rozdělení) je rozdělení pravděpodobnosti, které je často využíváno ve statistice.

Rozdělení pravděpodobnosti[editovat | editovat zdroj]

Studentovo rozdělení o n stupních volnosti, které označujeme t(n), je rozdělení náhodné veličiny X = \frac{U}{\sqrt{\frac{V}{n}}}, kde U a V jsou vzájemně nezávislé náhodné veličiny, přičemž Urozdělení \operatorname{N}(0,1) a Vrozdělení \chi^2(n).


Rozdělení t(n) má pro -\infty<x<\infty a n=1,2,3,... hustotu pravděpodobnosti

f(x) = \frac{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)\sqrt{\pi n}} {\left(1+\frac{x^2}{n}\right)}^{-\frac{n+1}{2}}

kde \Gamma je gama funkce (zobecnění faktoriálu pro reálná čísla).

Charakteristiky rozdělení[editovat | editovat zdroj]

Střední hodnota rozdělení t(n) je

\operatorname{E}(X)=0

pro n>1.

Rozdělení t(n)rozptyl

\sigma^2(X) = \frac{n}{n-2}

pro n>2.

Tabulka některých kvantilů pro některé počty stupňů volnosti:

stupňů volnosti q0,95 q0,975 q0,99 q0,995
1 6,31 12,71 31,82 63,66
2 2,92 4,30 6,97 9,93
3 2,35 3,18 4,54 5,84
4 2,13 2,78 3,75 4,60
5 2,02 2,57 3,37 4,03
6 2,0
7 až 9 1,9
10 1,81 2,23 2,76 3,17
15 1,75 2,13 2,60 2,95
20 1,73 2,09 2,53 2,85
30 1,70 2,04 2,46 2,75
50 1,68 2,01 2,40 2,68
N velké (>100) 1,65 1,96 2,33 2,58

Poznámka: protože T rozdělení je symetrické, pro kvantily platí, že q_p = -q_{(1-p)}

Poznámka: uvedené kvantily odpovídají kritickým hodnotám pro některé hladiny významnosti (používané například v T testu), a to
95% kvantil - 10% hladina významnosti
97,5% kvantil - 5% hladina významnosti
99% kvantil - 2% hladina významnosti
99,5% kvantil - 1% hladina významnosti

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Pro hodnoty n>30 je rozdělení t velmi blízké normovanému normálnímu rozdělení.

Související články[editovat | editovat zdroj]