Hausdorffova míra

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Hausdorffova míra (dále ) je „nížedimenzionální“ míra na , která dovoluje měřit jisté „velmi malé“ podmnožiny . Základní myšlenkou je, že množina je „s-dimenzionální“ podmnožina množiny , platí-li

,

i když je velmi komplikovaná. je definovaná jako výraz obsahující součet průměrů dobrého spočetného pokrytí.


Formální definice Hausdorffovy míry[editovat | editovat zdroj]

Definice: Nechť Definujme



kde



tady



je obyčejná gamma funkce.

Pro a s vlastnostmi jako výše, definujme:



nazveme s-dimenzionální Hausdorffovou mírou na .

Elementární vlastnosti Hausdorffovy míry[editovat | editovat zdroj]


je Borelova regulární míra pro , není ale Radonova míra.
Z toho plyne následující:

je míra.
je míra.
je Borelova míra.

Další zajímavé vlastnosti:

je čítací míra.
na , kde je Lebesgueova míra.
na pro všechna .
pro všechna .
pro všechny afinní isometrie .

Literatura[editovat | editovat zdroj]

  • Steven G. Krantz: Measure Theory and Fine Properties of Functions,
  • CRC Press LLC, London 2000, ISBN 0-8493-7157-0.