Hausdorffova míra

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Hausdorffova míra (dále \bold{H}^s) je "nížedimenzionální" míra na \mathbb{R}^n, která dovoluje měřit jisté "velmi malé" podmnožiny \mathbb{R}^n. Základní myšlenkou je, že množina \bold{A} je "s-dimenzionální" podmnožina množiny \mathbb{R}^n, platí-li

0<H^s(A)<\infty

, i když \bold{A} je velmi komplikovaná. \bold{H}^s je definovaná jako výraz obsahující součet průměrů dobrého spočetného pokrytí.


Formální definice Hausdorffovy míry[editovat | editovat zdroj]

Definice: Nechť \bold{A}\subset\mathbb{R}^n,0\leq s<\infty, 0<\delta\leq\infty Definujme

(i)\bold{H}^s_\delta(A)=\inf\{\sum^{\infty}_{i=1} \alpha(s)(\frac{diam(C_i)}{2})^s | A\subset{\cup^\infty_{j=1}C_j}, diam(C_j)\leq\delta\},

kde

\alpha(s)=\frac{\pi^{\frac{s}{2}}}{\Gamma(\frac{s}{2}+1)}

tady

\Gamma(r)=\int_0^\infty e^{-x}x^{r-1}dx,(0<r<\infty),

je obyčejná gamma funkce.

\bold(ii)Pro \bold{A} a \bold{s} s vlastnostmi jako výše, definujme:

H^s(A)=\lim_{\delta \to 0}H^s_\delta(A)=\sup_{\delta>0}H^s_\delta(A)

\bold{H}^s nazveme s-dimenzionální Hausdorffovou mírou na \mathbb{R}^n.

Elementární vlastnosti Hausdorffovy míry[editovat | editovat zdroj]


\bold{H}^s je Borelova regulární míra pro 0\leq s<\infty, není ale Radonova míra.
Z toho plyne následující:

(i)\bold{H}^s_\delta je míra.
(ii)\bold{H}^s je míra.
(iii)\bold{H}^s je Borelova míra.

Další zajímavé vlastnosti:

(i)\bold{H}^0 je čítací míra.
(ii)\bold{H}^1=\bold{L}^1 na \mathbb{R}^n, kde \bold{L}^1 je Lebesgueova míra.
(iii)\bold{H}^s=0 na \mathbb{R}^n pro všechna \bold{s>n}.
(iv)\bold{H}^s(\lambda A)=\lambda^s \bold{H}^s(A) pro všechna \lambda>0, A\subset\mathbb{R}^n.
(v)\bold{H}^s(L(A))=\bold{H}^s(A) pro všechny afinní isometrie L:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n, A\subset\mathbb{R}^n.

Literatura[editovat | editovat zdroj]

  • Steven G. Krantz: Measure Theory and Fine Properties of Functions,
  • CRC Press LLC, London 2000, ISBN 0-8493-7157-0.