Borelovská míra

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Borelovská míra je v matematice, jmenovitě v teorii míry definována takto: nechť X je lokálně kompaktní Hausdorffův prostor a nechť je nejmenší σ-algebra tvořená otevřenými množinami z X, známá jako σ-algebra borelovských množin. Libovolná míra µ definovaná na σ-algebře borelovských množin se nazývá borelovská míra. Někteří autoři navíc vyžadují, aby µ(C) < ∞ pro každou kompaktní množinu C. Pokud je borelovská míra µ vnitřní regulární míra i vnější regulární míra, nazývá se Borelovská regulární míra (někteří autoři navíc vyžadují, aby byla těsná). Pokud je µ vnitřní regulární a lokálně konečná, nazývá se Radonova míra. Všimněte si, že lokálně konečná borelovská míra automaticky splňuje podmínku, že µ(C) < ∞ pro každou kompaktní množinu C.

Na reálné ose[editovat | editovat zdroj]

Reálná osa se svou obvyklou topologií je lokálně kompaktní Hausdorffův prostor, takže na ní můžeme definovat borelovskou míru. V tomto případě je nejmenší σ-algebra obsahující otevřené intervaly množiny reálných čísel . Přestože existuje mnoho Borelovských měr µ, obvykle se používá míra, která přiřazuje každému intervalu míru . V praxi tato borelovská míra není nejužitečnější mírou definovanou na σ-algebře borelovských množin; vskutku, Lebesgueova míra je rozšířením této borelovské míry, která je na rozdíl od borelovské míry úplná. Pro objasnění, když řekneme, že Lebesgueova míra je rozšířením borelovské míry , znamená to, že každá borelovsky měřitelná (B-měřitelná) množina E je také lebesgueovsky měřitelná, a pro borelovské množiny se borelovská míra a Lebesgueova míra shoduje (tj. pro každou Borelovsky měřitelnou množinu).

Reference[editovat | editovat zdroj]

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Borel measure na anglické Wikipedii.

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]