Měřitelný kardinál

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Měřitelný kardinál je matematický pojem z oblasti teorie množin (kardinální aritmetiky). Patří mezi velké kardinály.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Řekneme, že kardinální číslo je měřitelné, je-li nespočetné a existuje-li na netriviální -úplný ultrafiltr, tj. ultrafiltr uzavřený na průniky méně než množin.

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Měřitelný ultrafiltr[editovat | editovat zdroj]

Každý netriviální -úplný ultrafiltr na definuje -aditivní (tj. takovou, že míra sjednocení méně než množin míry 0 je množina míry 0) dvouhodnotovou míru předpisem pro a jinak. Obráceně každá taková míra definuje (inverzní formulí) nějaký netriviální -úplný ultrafiltr na . Proto se někdy měřitelný kardinál definuje jako takový kardinál , na němž existuje -aditivní dvouhodnotová míra.

Z důvodů naznačených v předchozím odstavci se netriviální -úplný ultrafiltr na nespočetném kardinálu nazývá měřitelný ultrafiltr na nebo jen míra na .

Základní, jednoduše dokazatelnou a často užívanou vlastností měřitelného kardinálu je jeho uniformita.


Měřitelný kardinál[editovat | editovat zdroj]

Každý měřitelný kardinál je Ramseyův a tedy nedosažitelný.

Stanislaw Ulam dokázal roku 1930 ve své práci Zur Masstheorie in der allgemeinen Mengenlehre, že pokud je nejmenší nespočetný kardinál takový, že na něm existuje -úplný ultrafiltr, pak je měřitelný kardinál.

Pravděpodobně nejužitečnější metodu prokazování vlastností měřitelného kardinálu objevil počátkem 60. let 20. století Alfréd Tarski. Tato metoda spočívá v zavedení lineárního uspořádání na množině všech funkcí z do pro měřitelný kardinál takto: Nechť je měřitelný ultrafiltr na . Pro funkce definujeme

  • právě když
  • právě když
  • právě když nebo
  • , kde , je taková funkce, která splňuje pro všechna
  • funkce f je první za konstantami, je-li pro všechna a kdykoli , pak pro nějaké

Tarski pak dokázal následující větu: Je-li měřitelný kardinál, pak na existuje měřitelný ultrafiltr takový, že identita na (fce , že pro ) je první za konstantami.

Volbou takovéhoto měřitelného ultrafiltru lze pak například dokázat, že před každým měřitelným kardinálem leží právě nedosažitelných kardinálů.

Související články[editovat | editovat zdroj]