Limita

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání
Tento článek je o limitě funkce nebo zobrazení. O limitě a kolimitě v teorii kategorií pojednává článek Limita (teorie kategorií).
Limit-at-infinity-graph.png

Limita je matematická konstrukce vyjadřující, že se hodnoty zadané funkce nebo posloupnosti blíží libovolně blízko k nějakému bodu. Právě tento bod je pak označován jako limita. Tato skutečnost se u funkcí zapisuje a u posloupností .

Dle toho, zda se uvažuje o funkci nebo o posloupnosti, hovoříme o limitě funkce nebo limitě posloupnosti. Pojem limity lze definovat na reálných číslech, obecnější definice má smysl na libovolném metrickém prostoru a ještě obecnější definice na libovolném topologickém prostoru. Tam, kde má smysl více definic, jsou tyto definice ekvivalentní (například reálná čísla jsou metrickým i topologickým prostorem).

Limita funkce[editovat | editovat zdroj]

Podrobnější informace naleznete v článku Limita funkce.

Číslo je limitou funkce v bodě , jestliže pro libovolné existuje takové, že pro každé takové, že ( leží v prstencovém okolí bodu ) platí .

Limita posloupnosti[editovat | editovat zdroj]

Podrobnější informace naleznete v článku Limita posloupnosti.

Číslo je limitou posloupnosti , jestliže pro libovolné existuje takové, že pro každé platí .

Limita v metrickém prostoru[editovat | editovat zdroj]

Prvek metrického prostoru s metrikou je limitou posloupnosti jeho prvků , právě když platí .

Limita v topologickém prostoru[editovat | editovat zdroj]

Limita zobrazení mezi topologickými prostory a je v bodě definována jako takové, že pro každé okolí bodu existuje okolí bodu takové, že implikuje .

Dalším zobecněním limity posloupnosti, funkce i zobrazení jsou limity topologických sítí[1]. Limita zobrazení nebo topologické sítě může být v obecném topologickém prostoru víceznačná. Platí však, že v Hausdorffově prostoru je tato limita jednoznačná, tj. každé zobrazení či topologická síť má nejvýše jednu limitu.

Nevlastní limita v nevlastním bodě[editovat | editovat zdroj]

Pokud pro libovolné číslo lze nalézt prvek posloupnosti, počínaje kterým jsou všechny hodnoty posloupnosti větší než , říkáme, že posloupnost roste nade všechny meze neboli že má nevlastní limitu . Obdobně se definuje nevlastní limita .

Pokud pro libovolné číslo lze nalézt okolí bodu , ve kterém má funkce hodnotu větší než , říkáme, že v okolí bodu funkce roste nade všechny meze neboli že má nevlastní limitu . Obdobně se definuje nevlastní limita .

Limitou tedy může být nejen reálné číslo, ale i nebo (rozšířené reálné číslo).

Pokud se hodnoty limity neliší od čísla o více než libovolné číslo , má funkce v nevlastním bodě vlastní limitu . Pokud jsou hodnoty limity větší než libovolné číslo , má funkce v nevlastním bodě nevlastní limitu . Obdobným způsobem lze definovat limitu v nevlastním bodě .

V každém z nevlastních bodů nebo může mít funkce vlastní limitu, nevlastní limitu nebo limita nemusí existovat. Příkladem funkce, která nemá limitu v žádném z bodů nebo , je funkce sinus.

Příklady[editovat | editovat zdroj]

  • Funkce není v nule definovaná, ale má v ní limitu 1[pozn 1] (vlastní limita ve vlastním bodě) a v má limitu 0 (vlastní limita v nevlastním bodě).
  • Funkce ani v nule limitu nemají. Totéž platí i o funkcích či , ovšem ty mají alespoň jednostranné limity: jejich pravostranná limita je a levostranná .
  • Funkce a mají v nule limitu (nevlastní limita ve vlastním bodě).
  • Funkce má v nule limitu 0 a v limitu nemá. Obě tato tvrzení platí i o funkci .
  • Funkce má v limitu 0 (vlastní limita v nevlastním bodě) a v limitu .

Poznámky[editovat | editovat zdroj]

  1. To lze intuitivně zdůvodnit tak, že funkce sin x má v okolí nuly "velmi podobný" průběh, jako funkce f(x) = x; proto se jejich poměr blíží k jedné.

Související články[editovat | editovat zdroj]

Reference[editovat | editovat zdroj]

  1. Michael C. Gemignani, Elementary topology, Courier Dover Publications, 1990 (strana 122, def. 3)

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]