Limita

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Tento článek pojednává o limitě funkce nebo zobrazení. O limitě a kolimitě v teorii kategorií pojednává článek Limita (teorie kategorií).
Limit-at-infinity-graph.png

Limita je matematická konstrukce vyjadřující, že se hodnoty zadané posloupnosti nebo funkce blíží libovolně blízko k nějakému bodu. Právě tento bod je pak označován jako limita. Tato skutečnost se u funkcí zapisuje a u posloupností případně .

Dle toho, zda se uvažuje o posloupnosti nebo o funkci, hovoříme o limitě posloupnosti nebo limitě funkce. Pojem limity lze definovat na reálných číslech, obecnější definice má smysl na libovolném metrickém prostoru a ještě obecnější definice na libovolném topologickém prostoru. Tam, kde má smysl více definic, jsou tyto definice ekvivalentní (například reálná čísla jsou metrickým i topologickým prostorem).

Limita posloupnosti[editovat | editovat zdroj]

Podrobnější informace naleznete v článku Limita posloupnosti.

Posloupnost limitu A, pokud se jejími hodnotami můžeme k A libovolně přiblížit. Tedy pro každé kladné číslo platí, že existuje nějaký člen posloupnosti, od kterého jsou už její hodnoty od A vzdáleny méně, než .

Zapsáno symbolicky:

Příklad: Číslo 1 je limitou posloupnosti (0,9; 0,99; 0,999; 0,9999 …), kterou lze formálně zapsat jako {1-10−j}j.

Limita funkce[editovat | editovat zdroj]

Podrobnější informace naleznete v článku limita funkce.

Říkáme, že funkce f(x) má v bodě a limitu A, jestliže k libovolnému existuje takové , že pro všechna x z -okolí bodu a, z něhož vyjmeme bod a (tzv. prstencová okolí bodu a) je .

Limita vzhledem k podmnožině[editovat | editovat zdroj]

(Speciální případ: Pravostranná a levostranná limita)

Nevlastní limita[editovat | editovat zdroj]

Pokud pro každé (libovolně velké) kladné číslo y lze nalézt prvek posloupnosti, počínaje kterým jsou všechny hodnoty posloupnosti větší než y, říkáme, že posloupnost roste nade všechny meze neboli že má nevlastní limitu . Obdobně se definuje nevlastní limita .

Pokud pro funkci v okolí bodu a platí, že pro každé (libovolně velké) kladné číslo y lze nalézt okolí bodu a, ve kterém má funkce hodnotu větší než y, říkáme, že funkce v okolí bodu a roste nade všechny meze neboli že má nevlastní limitu . Nevlastní limita se definuje obdobně.

Limitou tedy může být nejen reálné číslo, ale i nebo (rozšířené reálné číslo).

Limita v nevlastním bodě[editovat | editovat zdroj]

Stejně jako u posloupností lze zkoumat chování funkcí pro všechny hodnoty argumentu větší než zadané kladné číslo z. Pokud se hodnoty neliší od určitého čísla A o více než předem zadané , má funkce v nevlastním bodě vlastní limitu A. Pokud jsou hodnoty větší než libovolné předem dané y, má funkce v nevlastním bodě nevlastní limitu .

Obdobným způsobem lze definovat limitu v nevlastním bodě .

V každém z nevlastních bodů nebo může mít funkce vlastní limitu, nevlastní limitu nebo limita nemusí existovat. Příkladem funkce, která nemá limitu v žádném z bodů nebo , je funkce sinus.

Zobecnění pro topologické prostory[editovat | editovat zdroj]

Limita zobrazení mezi topologickými prostory je v bodě a definována jako takové, že pro každé okolí O(b) bodu b existuje okolí O(a) bodu a takové, že implikuje .

Dalším zobecněním limity posloupnosti, funkce i zobrazení jsou limity sítí[1].

Limita zobrazení nebo sítě může být v obecném topologickém prostoru víceznačná. Platí však, že v Hausdorffově prostoru, je tato limita jednoznačná, t.j. každá síť má nejvýše jednu limitu.

Příklady[editovat | editovat zdroj]

  • Funkce není v nule definovaná, ale má v ní limitu 1[pozn 1] (vlastní limita ve vlastním bodě) a v má limitu 0 (vlastní limita v nevlastním bodě).
  • Funkce je v nule spojitá (limita je 0) a v limitu nemá. Obě tato tvrzení platí i o funkci
  • Funkce ani v nule limitu nemají. Totéž platí i o funkcích či , ovšem ty mají alespoň jednostranné limity: jejich pravostranná limita je a levostranná . Naproti tomu funkce a mají v nule limitu (nevlastní limita ve vlastním bodě).
  • Funkce má v limitu 0 (vlastní limita v nevlastním bodě) a v limitu .

Poznámky[editovat | editovat zdroj]

  1. To lze intuitivně zdůvodnit tak, že funkce sin x má v okolí nuly "velmi podobný" průběh, jako funkce f(x) = x; proto se jejich poměr blíží k jedné.

Související články[editovat | editovat zdroj]

Reference[editovat | editovat zdroj]

  1. Michael C. Gemignani, Elementary topology, Courier Dover Publications, 1990 (strana 122, def. 3)

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]