Rozšířená reálná čísla

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Rozšířená reálná čísla (značení ) je název používaný v matematická analýze pro množinu , tedy pro reálná čísla rozšířené o dva symboly pro kladné a záporné nekonečno.

Jejich hlavní přínos spočívá v tom, že je možné pomocí nich definovat některé matematické pojmy pro několik situací zároveň, což definici zkrátí a zpřehlední. Například v definici pro limitu funkce je potřeba ošetřit celkem devět možností: i může být reálné číslo, nebo ; pomocí rozšířených reálných čísel je možno těchto devět možností vyjádřit jednou formulí.

Aritmetické operace a uspořádání[editovat | editovat zdroj]

Aritmetické operace[editovat | editovat zdroj]

Sčítání a odčítání[editovat | editovat zdroj]

Definovat zde budeme pouze sčítání. Všimneme si, že odčítání je v něm již zahrnuto, např. .

Definice je poměrně přirozená, jelikož zachovává zvyklosti z reálných čísel a „s nekonečnem operuje nekonečně“. První dva body říkají, že když k nekonečnu cokoli přičteme, dostaneme opět nekonečno (vyjma nekonečna s opačným znaménkem). To dává smysl i nematematicky: když přidáme nebo ubereme z něčeho nekonečného, pořád toho bude nekonečně. Druhé dva body přesně kopírují chování reálných čísel, např. a také .

Násobení a dělení[editovat | editovat zdroj]

I v tomto případě dává definice dobrý smysl. První dva body opět kopírují vlastnosti násobení reálných čísel, např. nebo , neboli násobení s nekonečnem nakládá stejně, jako by to bylo obyčejné reálné číslo. Poslední bod si můžeme představit následovně. Zvolme si x = 1 (pro jednoduchost). Místo nekonečna si postupně dosazujme větší a větší čísla 10, 100, -1000, , atd. Zlomek se tím více přibližuje nule, čím větší číslo do jmenovatele dosadíme (čím větší číslo v absolutní hodnotě). Proto když do jmenovatele dosadíme nekonečně velké číslo, celý zlomek bude roven nule.

Absolutní hodnota[editovat | editovat zdroj]

Stejně tak absolutní hodnota se k nekonečnu chová jako k reálnému číslu.

Nedefinované aritmetické operace[editovat | editovat zdroj]

Výše nebyly definovány některé operace, jelikož neumíme říci, čemu by se měly rovnat, např.

Zvažme například, proč si neumíme poradit s posledním bodem. Pokusme se definovat obdobně, jak jsme definovali, že . Dosadíme x = 1 (pro jednoduchost) a místo nuly uvažujme malá čísla - 0,1 ; 0,0001; - 0,00000001; 0,0000000000001. Narážíme zde na problém - zlomek se sice neustále zvětšuje, ale když dosazujeme kladná a záporná čísla, zvětšuje se "jinam", totiž směrem k a . A bohužel nelze říci, zdali by výsledek měl být spíše jedno, či druhé.

Uspořádání[editovat | editovat zdroj]

Množina reálných čísel je uspořádaná, tj. pro každá dvě čísla umíme říct, které z nich je větší, nebo že se rovnají, např. ; ; . Nyní chceme definovat, jak jsou vůči těmto prvkům uspořádané nové dva prvky

-okolí[editovat | editovat zdroj]

Pojem „ okolí bodu “ je označován a má tuto definici:

Pro každé a je

  • pokud
  • pokud
  • pokud

Prstencové okolí je pak ve všech případech definováno jako .

Okolí vs. -okolí[editovat | editovat zdroj]

Množina se nazývá okolím bodu , pokud obsahuje -okolí bodu x pro nějaké ε>0. A se nazývá prstencovým okolím x, pokud neobsahuje x, ale pro nějaké ε>0 obsahuje jako podmnožinu nějaké prstencové ε-okolí bodu x.

Tyto definice jsou ekvivalentní s topologickými definicemi pojmu okolí a ε-okolí při níže uvedené topologii.

Topologie[editovat | editovat zdroj]

Na lze zavést strukturu topologického prostoru tak, že množina je otevřená, právě když s každým svým prvkem obsahuje nějaké jeho okolí.

Tato topologie je sice metrizovatelná, ale žádná z metrik, která ji indukuje, není na reálných číslech (tj. na ) totožná s obvyklou metrikou. Příkladem metriky, která tuto topologii indukuje, je zobrazení , pokud funkci arctan dodefinujeme (pouze pro účely této definice) tak, že .

Limita posloupnosti[editovat | editovat zdroj]

Rozšířená reálná čísla umožňují jedním vzorcem definovat limitu posloupnosti pro konečné i nekonečné .

Budiž posloupnost reálných čísel a . Řekneme, že , pokud

Tato definice konvergence posloupnosti je ekvivalentní s konvergencí v topologickém prostoru při výše uvedené topologii.

Limita funkce[editovat | editovat zdroj]

Rozšířená reálná čísla umožňují definovat limitu funkce jedním vzorcem pro konečné i nekonečné a :

Je-li funkce, a takové, že leží v uzávěru ( definiční obor sice obsahuje jen konečná čísla, ale v jeho uzávěru - viz topologie na - může ležet i nekonečno), pak říkáme, že

Tato podmínka je ekvivalentní s tvrzením, že pro každé okolí bodu existuje prstencové okolí bodu takové, že obraz leží v (tj. ).

Důkaz ekvivalence: Pokud je y je limitou v prvním smyslu a chceme ověřit druhou formulaci, pak ε zvolíme tak, aby . Definice v prvním smyslu nám zaručuje existenci s příslušnou vlastností; poté zvolme jako . Naopak pokud y je limitou v druhém smyslu a máme dokázat spojitost pro nějaké ε>0, pak zvolíme a zvolíme tak, aby .