Rozšířená reálná čísla

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Rozšířená reálná čísla (značení \R^*\,\! ) je název používaný v matematická analýze pro množinu  \R\cup \{+\infty, -\infty \} \,\! , tedy pro reálná čísla rozšířené o dva symboly pro kladné a záporné nekonečno.

Jejich hlavní přínos spočívá v tom, že je možné pomocí nich definovat některé matematické pojmy pro několik situací zároveň, což definici zkrátí a zpřehlední. Například v definici pro limitu funkce  y = \lim_{x\to x_0}f(x)\,\! je potřeba ošetřit celkem devět možností: x_0\,\! i y\,\! může být reálné číslo,  -\infty  \,\! nebo  +\infty  \,\! ; pomocí rozšířených reálných čísel je možno těchto devět možností vyjádřit jednou formulí.

Aritmetické operace a uspořádání[editovat | editovat zdroj]

Aritmetické operace[editovat | editovat zdroj]

Sčítání a odčítání[editovat | editovat zdroj]

Definovat zde budeme pouze sčítání. Všimneme si, že odčítání je v něm již zahrnuto, např. \infty + (-4) = \infty - 4 .

  • \forall x \in \R^* \setminus \{-\infty\} : (\infty + x) = (x + \infty) = \infty
  • \forall x \in \R^* \setminus \{\infty\} : (-\infty + x) = (x + (-\infty)) = -\infty
  • - (\infty) = - \infty
  • -(-\infty) = \infty

Definice je poměrně přirozená, jelikož zachovává zvyklosti z reálných čísel a „s nekonečnem operuje nekonečně“. První dva body říkají, že když k nekonečnu cokoli přičteme, dostaneme opět nekonečno (vyjma nekonečna s opačným znaménkem). To dává smysl i nematematicky: když přidáme nebo ubereme z něčeho nekonečného, pořád toho bude nekonečně. Druhé dva body přesně kopírují chování reálných čísel, např. -(4)= - 4 a také -(-\pi) = \pi .

Násobení a dělení[editovat | editovat zdroj]

  • \forall x \in \R^*, x>0 : (\pm\infty) * x = x * (\pm\infty) = \pm\infty
  • \forall x \in \R^*, x<0 : (\pm\infty) * x = x * (\pm\infty) = \mp\infty
  • \forall x \in \R : \left ( \frac{x}{\pm\infty} \right ) = 0

I v tomto případě dává definice dobrý smysl. První dva body opět kopírují vlastnosti násobení reálných čísel, např. 4 * (-8) = -32 nebo (-7) * (-2) = 14 , neboli násobení s nekonečnem nakládá stejně, jako by to bylo obyčejné reálné číslo. Poslední bod si můžeme představit následovně. Zvolme si x = 1 (pro jednoduchost). Místo nekonečna si postupně dosazujme větší a větší čísla 10, 100, -1000, 10^{10} ,  -10^{1000} atd. Zlomek se tím více přibližuje nule, čím větší číslo do jmenovatele dosadíme (čím větší číslo v absolutní hodnotě). Proto když do jmenovatele dosadíme nekonečně velké číslo, celý zlomek bude roven nule.

Absolutní hodnota[editovat | editovat zdroj]

  • |\pm\infty| = \infty

Stejně tak absolutní hodnota se k nekonečnu chová jako k reálnému číslu.

Nedefinované aritmetické operace[editovat | editovat zdroj]

Výše nebyly definovány některé operace, jelikož neumíme říci, čemu by se měly rovnat, např.

  • \infty + (- \infty)
  •  (-\infty) + \infty
  • \pm\infty * 0
  • 0*\pm\infty
  • \left ( \frac{\pm\infty}{\pm\infty} \right )
  • \left ( \frac{x}{0} \right ) , \forall x \in \R^*

Zvažme například, proč si neumíme poradit s posledním bodem. Pokusme se definovat  \left ( \frac{x}{0} \right ) obdobně, jak jsme definovali, že \forall x \in \R : \left ( \frac{x}{\pm\infty} \right ) = 0 . Dosadíme x = 1 (pro jednoduchost) a místo nuly uvažujme malá čísla - 0,1 ; 0,0001; - 0,00000001; 0,0000000000001. Narážíme zde na problém - zlomek se sice neustále zvětšuje, ale když dosazujeme kladná a záporná čísla, zvětšuje se "jinam", totiž směrem k  \infty a  - \infty . A bohužel nelze říci, zdali by výsledek  \left ( \frac{x}{0} \right ) měl být spíše jedno, či druhé.

Uspořádání[editovat | editovat zdroj]

Množina reálných čísel je uspořádaná, tj. pro každá dvě čísla umíme říct, které z nich je větší, nebo že se rovnají, např. 4 > 3 ; e < \pi ; \left ( \frac{3125}{625} \right ) = \left ( \frac{65}{13} \right ) . Nyní chceme definovat, jak jsou vůči těmto prvkům uspořádané nové dva prvky  +\infty , -\infty

  •  \forall x \in \R : - \infty < x
  •  \forall x \in \R :  \infty > x
  •  - \infty < \infty

\varepsilon-okolí[editovat | editovat zdroj]

Pojem „\varepsilon-\,\! okolí bodu x\,\! “ je označován  U_\varepsilon(x)\,\! a má tuto definici:

Pro každé x \in \R^*\,\! a \varepsilon  \in \R^+\,\! je

  • U_\varepsilon(x) = ( x - \varepsilon, x + \varepsilon )  \,\! pokud x \in R\,\!
  • U_\varepsilon(x) = \left\langle -\infty,  -{1 \over \varepsilon} \right)\,\! pokud x =-\infty \,\!
  • U_\varepsilon(x) = \left( {1 \over \varepsilon}, +\infty \right\rangle \,\! pokud x =+\infty \,\!

Prstencové okolí je pak ve všech případech definováno jako P_\varepsilon(x) = U_\varepsilon(x)-\{x\}  \,\! .

Okolí vs. \varepsilon-okolí[editovat | editovat zdroj]

Množina  A\subseteq \R^* \,\! se nazývá okolím bodu  x \in \R^* \,\! , pokud obsahuje \varepsilon-okolí bodu x pro nějaké ε>0. A se nazývá prstencovým okolím x, pokud neobsahuje x, ale pro nějaké ε>0 obsahuje jako podmnožinu nějaké prstencové ε-okolí bodu x.

Tyto definice jsou ekvivalentní s topologickými definicemi pojmu okolí a ε-okolí při níže uvedené topologii.

Topologie[editovat | editovat zdroj]

Na \R^*\,\! lze zavést strukturu topologického prostoru tak, že množina je otevřená, právě když s každým svým prvkem obsahuje nějaké jeho okolí.

Tato topologie je sice metrizovatelná, ale žádná z metrik, která ji indukuje, není na reálných číslech (tj. na \R\subsetneq\R^* \,\!) totožná s obvyklou metrikou. Příkladem metriky, která tuto topologii indukuje, je zobrazení d(x,y) = |\operatorname{arctan}(x)- \operatorname{arctan}(y)|  \,\! , pokud funkci arctan dodefinujeme (pouze pro účely této definice) tak, že \operatorname{arctan}(+\infty) = {\pi\over 2} \, ,  \operatorname{arctan}(-\infty) = -{\pi\over 2} \,\!.

Limita posloupnosti[editovat | editovat zdroj]

Rozšířená reálná čísla umožňují jedním vzorcem definovat limitu posloupnosti  a = \lim_{n\to +\infty}a_n\,\! pro konečné i nekonečné  a .

Budiž a_n \,\! posloupnost reálných čísel a a\in\R^*\,\!. Řekneme, že  a = \lim_{n\to +\infty}a_n\,\! , pokud

(\forall\epsilon\in\R^*)(\exist n_0\in\N)(\forall n>n_0) a_n\in U_\epsilon(a)\,\!

Tato definice konvergence posloupnosti je ekvivalentní s konvergencí v topologickém prostoru při výše uvedené topologii.

Limita funkce[editovat | editovat zdroj]

Rozšířená reálná čísla umožňují definovat limitu funkce jedním vzorcem pro konečné i nekonečné  x_0 a  y:

Je-li  f : D_f \subseteq \R\to\R\,\! funkce,  y\in R^* a  x_0\in R^* takové, že  x_0 leží v uzávěru  D_f \,\! ( definiční obor  D_f \,\! sice obsahuje jen konečná čísla, ale v jeho uzávěru - viz topologie na  R^* - může ležet i nekonečno), pak říkáme, že

 y = \lim_{x\to x_0}f(x) \iff \forall\epsilon\in\R^+\exist\delta\in\R^+:f[P_\delta(x_0)] \subseteq P_\epsilon(f(x_0)) \,\!

Tato podmínka je ekvivalentní s tvrzením, že pro každé okolí U_1 bodu y existuje prstencové okolí P_2 bodu x_0 takové, že obraz P_2 leží v U_1 (tj.  f[P_2] \subseteq U_1\,\! ).

Důkaz ekvivalence: Pokud je y je limitou v prvním smyslu a chceme ověřit druhou formulaci, pak ε zvolíme tak, aby  U_\epsilon(x)\subseteq U_1\,\!. Definice v prvním smyslu nám zaručuje existenci \delta s příslušnou vlastností; poté P_2 zvolme jako P_\delta(x). Naopak pokud y je limitou v druhém smyslu a máme dokázat spojitost pro nějaké ε>0, pak zvolíme U_1= U_\epsilon(x) a \delta zvolíme tak, aby P_\delta(x)\subseteq P_2.