Uzávěr množiny

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Uzávěr množiny (anglicky closure) je nejmenší uzavřená množina topologického prostoru, která danou množinu obsahuje. Uzávěr značíme většinou , popř. .

Neformální úvod[editovat | editovat zdroj]

Pojem uzavřená množina lze názorně definovat na reálných číslech nebo v Euklidovském prostoru, abstraktněji v metrických prostorech a ještě obecněji v topologickém prostoru.

Níže uvedená definice a vlastnosti platí pro každou z právě vyjmenovaných situací.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Průnik všech uzavřených množin topologického prostoru , které obsahují jako svou podmnožinu, nazveme uzávěr množiny , značíme .

je uzavřená

Ekvivalentně lze definovat uzávěr množiny jako množinu všech bodů topologického prostoru, jejichž libovolné okolí má neprázdný průnik s .

Vnitřní a vnější body[editovat | editovat zdroj]

Uzávěr množiny metrického prostoru lze také vyjádřit s pomocí rozdílu množin jako , kde označuje vnitřek množiny .

Vnitřek množiny tvoří množina všech vnitřních bodů. Bod označíme jako vnitřní bod množiny , pokud existuje takové , že pro množinu platí .

Pokud platí , pak se množina nazývá otevřená (v metrice ).

Pro množiny metrického prostoru platí vztahy

  • pokud , pak platí také
  • každá otevřená podmnožina množiny je podmnožinou
  • množinu získáme jako sjednocení všech otevřených podmnožin množiny .


Je-li částí metrického prostoru , pak vnitřek množiny nazveme vnějškem množiny . Body nacházející se ve vnějšku nazýváme vnějšími body množiny .

Pokud existuje takové okolí bodu , že , pak bod a nazýváme izolovaným bodem.

Jestliže každé okolí bodu obsahuje prvek množiny různý od x, pak bod x se nazývá hromadným bodem množiny .

Bod uzávěru je hromadným bodem množiny (pokud se nejedná o izolovaný bod).

Vlastnosti uzávěru[editovat | editovat zdroj]

  • Z toho, že průnik libovolného počtu uzavřených množin je uzavřená množina, je i uzávěr množiny uzavřená množina. Naopak platí, že množina je uzavřená pravě tehdy, když je rovna svému uzávěru, tzn. .
  • Uzávěr celého je , tzn. .
  • Pro platí
    • (Ale pozor: obrácená inkluze obecně neplatí! Zvažme například situaci a .)
    • pokud , pak
    • je-li je podmnožinou uzavřené množiny , pak

Související články[editovat | editovat zdroj]