Metrický prostor

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Metrický prostor je matematická struktura, pomocí které lze formálním způsobem definovat pojem vzdálenosti. Na metrických prostorech se poté definují další topologické vlastnosti jako např. otevřenost a uzavřenost množin, jejichž zobecnění pak vede na ještě abstraktnější matematický pojem topologického prostoru.

Historie[editovat | editovat zdroj]

Maurice Fréchet zavedl pojem metrického prostoru ve své práci Sur quelques points du calcul fonctionnel, Rendic. Circ. Mat. Palermo 22 (1906) 1–74.

Neformální úvod[editovat | editovat zdroj]

Pojem "metrický prostor" vznikl proto, aby se některé pojmy (definované pomocí vzdálenosti bodů na reálné ose) daly zavést pro širší skupinu matematických objektů. Příkladem takových pojmů jsou:

Tyto pojmy mají své definice na reálné ose, které silně využívají pojem "vzdálenost" (tedy absolutní hodnota rozdílu dvou reálných čísel). Lze je však zobecnit na jakoukoli množinu, kde je pojem "vzdálenost" nějak definovaný, například množinu bodů v rovině a prostoru. Nebo množinu spojitých funkcí na intervalu, kde vzdáleností je maximum jejich rozdílu. Pak se lze ptát, zda je nějaká množina funkcí uzavřená, zda posloupnost funkcí konverguje apod.

Jelikož studium těchto analogií (mezi reálnou osou a složitějšími množinami) přináší mnoho užitečných výsledků, jsou formalizovány pojmem "Metrický prostor", což je množina spolu se zobrazením, které každé dvojici bodů přiřadí tzv. metriku. Pojmy "metrika" a "vzdálenost" se při neformálním vyjadřování užívají záměnně, ale pojem "metrika" se snaží zdůraznit, že může jít o libovolné zobrazení splňující axiomy níže, nejen o vzdálenost v klasickém smyslu. Na téže množině (např. body v rovině) lze zavést několik různých metrik.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Metrický prostor je dvojice , kde je libovolná neprázdná množina a je tzv. metrika, což je zobrazení

,

které splňuje následující axiomy (pro libovolná ):

  1. Axiom nezápornosti:
  2. Axiom totožnosti:
  3. Axiom symetrie:
  4. Trojúhelníková nerovnost:

Závislosti axiomů[editovat | editovat zdroj]

Tyto axiomy nejsou nezávislé, nezápornost totiž vyplývá z ostatních tří axiomů: . Nahradíme-li trojúhelníkovou nerovnost pozměněným tvarem

4*. ,

pak nezápornost vyplývá přímo z axiomu 4* a dále z axiomů 2 a 4* vyplývá symetrie.

Hodnota bývá nazývána vzdáleností bodů v metrice .

Vynecháme-li v axiomu 2 implikaci zleva doprava (tj. připustíme, aby dva různé body měly nulovou vzdálenost) a ponecháme tak pouze rovnost , nazýváme vzniklé zobrazení pseudometrikou.

Vynecháme-li 4. axiom, nazýváme vzniklé zobrazení semimetrikou.

Příklady[editovat | editovat zdroj]

Metriky v [editovat | editovat zdroj]

Každý normovaný vektorový prostor je metrickým prostorem.

Množina reálných čísel spolu s metrikou (absolutní hodnota), kde jsou libovolné body množiny , tvoří úplný metrický prostor.

Na euklidovském prostoru (tj. v rovině, v prostoru, případně ve vícerozměrném prostoru) lze definovat metriku mnoha způsoby, z nichž nejběžnější jsou:

  • Na množině lze definovat tzv. euklidovskou metriku, která vyjadřuje délku úsečky mezi oběma body. Tento metrický prostor se nazývá euklidovský prostor dimenze a označuje se . Euklidovská metrika je definována následujícím vztahem (viz též Pythagorova věta):
    Uzavřená koule se středem [2;1,5] a poloměrem 1 v euklidovské metrice.
  • tzv. součtová či manhattanská metrika (podle vzdálenosti, kterou je třeba ujít mezi dvěma křižovatkami na Manhattanu, mezi kterými se lze pohybovat jen po na sebe kolmých ulicích ve směru obou os).
  • tzv. maximová metrika:

Na jakémkoli normovaném vektorovém prostoru lze definovat pošťáckou (pařížskou, moskevskou...) metriku: pro a . V této metrice hraje důležitou roli počátek. Dá se to představit tak, že všechny cesty z místa A do místa B vedou nejprve z A do tohoto významného bodu (Paříž, Moskva...) a až poté do B.

Příklady metrik na množinách funkcí[editovat | editovat zdroj]

  • Uniformní metrika
    Metrickým prostorem nazýváme prostor všech spojitých funkcí na intervalu s metrikou
    (tzv. supremová metrika)
  • Další možnou metrikou v prostoru spojitých funkcí na intervalu je integrální metrika (pak se tento prostor nazývá Lp prostor)

Příklady na diskrétních množinách[editovat | editovat zdroj]

  • Na libovolné neprázdné množině (ovšem většina užitečných aplikací se týká diskrétních množin) lze zavést diskrétní metriku takto:
    a pro
  • Levenštejnova vzdálenost vyjadřuje podobnost (resp. rozdílnost) dvou textových řetězců, kterou vyjadřuje jako počet změn (tj. nahrazení, vložení nebo vypuštění znaku), které jsou potřeba k transformaci jednoho řetězce v druhý.
  • Délka nejkratší cesty v grafu je metrikou na vrcholech tohoto grafu (který musí být neorientovaný a souvislý).

Další příklady[editovat | editovat zdroj]

  • V každém Riemannově prostoru je možné definovat vzdálenosti bodů.
  • je množina vlakových nádraží a metrika definovaná na této množině je vzdálenost po kolejích mezi jednotlivými nádražími.

Vlastnosti množin v metrickém prostoru[editovat | editovat zdroj]

Buď metrický prostor, :

  • Otevřená koule se středem v bodě x a poloměrem ε je množina . Někdy místo o otevřené kouli mluvíme o ε-okolí bodu x, pak ho značíme . Prstencové (redukované) ε-okolí bodu x je.
  • Uzavřená koule je množina .
  • (zúžení na ) je metrika na a prostor se nazývá podprostor metrického prostoru .
  • Řekneme, že x je vnitřní bod množiny M, jestliže existuje ε>0 splňující . Množina všech vnitřních bodů množiny M nazýváme vnitřkem množiny M a značíme nebo .
  • Množinu se nazývá otevřená, jestliže .
  • Bod x je hromadným bodem množiny M, jestliže platí . Množina hromadných bodů množiny M se nazývá derivace množiny M a značí se symbolem .
  • Množina M je uzavřená, jestliže je otevřená (nebo taky jestliže všechny hromadné body patří do M).
  • Uzávěrem množiny M rozumíme množinu
  • Řekneme, že bod x je hraničním bodem množiny M, jestliže platí . Množinu všech hraničních bodů nazýváme hranice a značíme ji . Z definice vidíme, že tyto body patří do uzávěru množiny i do uzávěru doplňku množiny.
  • Množina M je hustá v X, jestliže .
  • Vzdálenost bodu x od množiny M definujeme předpisem , kde znační infimum.
  • Diametrem (průměrem) množiny M rozumíme číslo definované předpisem kde značí supremum.
  • Množina M se nazývá omezená, jestliže .

Příklady[editovat | editovat zdroj]

V s eukleidovskou normou:

  •  : je otevřená, není uzavřená , omezená
  •  : není otevřená, je uzavřená, , omezená
  •  : není otevřená ani uzavřená, , omezená
  • : je otevřená i uzavřená, , neomezená

Porovnání metrik[editovat | editovat zdroj]

Mějme na neprázdné množině dvě libovolné metriky . Následující výroky jsou ekvivalentní:

  • každá množina otevřená v metrice je otevřená také v metrice
  • každá množina uzavřená v metrice je uzavřená také v metrice
  • pro každé platí , kde značí uzávěr množiny vzhledem k metrice .
  • pro každé platí , kde značí vnitřek množiny vzhledem k metrice .
  • každé okolí bodu v metrice je okolím také v metrice .
  • identické zobrazení metrického prostoru na je spojité.
  • každá posloupnost bodů z , která v metrickém prostoru konverguje k x, konverguje ke stejné limitě také v prostoru .

Uvedená tvrzení definují vztah mezi metrikami a . Je-li přitom , pak o takto definovaných metrikách říkáme, že je silnější než (nebo je slabší než ).

Ekvivalence metrik[editovat | editovat zdroj]

O metrikách na řekneme, že jsou ekvivalentní tehdy, když každá množina je otevřená v metrice právě tehdy, když je otevřená v metrice . Jsou-li metriky ekvivalentní, pak pro každou množinu platí , kde je uzávěr množiny v metrice . Jestliže jsou metriky ekvivalentní, pak pro každou množinu také platí , kde je vnitřek množiny v metrice .

Hlavní pojmy[editovat | editovat zdroj]

  • Prostor M je totálně omezený, pokud pro každé kladné číslo existuje konečná množina taková, že každý prvek M je k nějakému prvku S blíže, než . Množině se říká -síť. Prostor M je omezený, pokud existuje kladné číslo K takové, že vzdálenost libovolné dvojice prvků je menší, než K.
  • Konvergence posloupnosti a spojitost zobrazení se definuje analogicky, jako na reálných číslech.
  • Kompaktní množina je množina, z jejíhož každého pokrytí otevřenými množinami lze vybrat konečné pokrytí.
  • Uzavřený podprostor se definuje podobně, jako na reálných číslech, ovšem prostor může být uzavřený vůči některým svým nadprostorům a otevřený vůči jiným. Je-li uzavřený vůči všem, pak se nazývá absolutně uzavřený
  • Úplný metrický prostor je metrický prostor, v němž každá cauchyovská posloupnost je konvergentní. Prostor je úplný, právě když je absolutně uzavřený.

Zobecnění[editovat | editovat zdroj]

Vynecháním podmínky symetrie se definice mění na definici kvazimetrického prostoru, zatímco povolením nulové vzdálenosti pro různé body se definice mění na definici pseudometrického prostoru.

Topologický prostor[editovat | editovat zdroj]

Podrobnější informace naleznete v článku topologický prostor.

Metrický prostor je velmi obecná struktura umožňující pracovat jednotně s mnoha různými druhy množin (množiny bodů, množiny funkcí apod.). Přesto je možno mnohé pojmy z metrických prostorů (například "uzavřená množina" nebo "spojité zobrazení") definovat ještě podstatně obecněji v pojmu topologický prostor. Každý metrický prostor je zároveň topologickým prostorem, ovšem nikoli opačně. Topologické prostory tedy umožňují studovat vlastnosti ještě širší skupiny množin, než metrické prostory. Tím se zabývá oblast matematiky zvaná topologie.