L'Hospitalovo pravidlo

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

L'Hospitalovo pravidlo umožňuje v některých případech vypočítat limitu podílu dvou funkcí. Říká, že limita podílu dvou funkcí, které splňují jisté předpoklady, je rovna limitě podílu derivací těchto funkcí, tj.

Pravidlo bylo poprvé publikováno matematikem Guillaumem de l'Hôpitalem v jeho knize Analyse des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes [1], avšak objevitelem je pravděpodobně Johann Bernoulli, z jehož přednášek L'Hospital svou knihu sestavoval[2].

Předpoklady[editovat | editovat zdroj]

Nechť je buď reálné číslo, nebo (viz rozšířená reálná čísla) a nechť f a g jsou funkce z (nebo jeho části) do . Věta platí za těchto předpokladů:

Nenulovost[editovat | editovat zdroj]

Funkce i musí být nenulové na nějakém okolí čísla (jinak tvrzení nemá smysl z důvodu dělení nulou). Pokud např. , pak jeho okolím jsou množiny, které obsahují interval pro nějaké , takže například funkce předpoklad nesplňuje.

Požadovaný typ limity[editovat | editovat zdroj]

Musí platit jedna z podmínek a) nebo b) [3]:

a)

b)

Jinak řečeno, musí být buď obě limity nulové, nebo spodní limita nevlastní. Tyto případy jsou nazývány "limita typu " resp. "limita tvaru ".

Existence limity na pravé straně[editovat | editovat zdroj]

Musí existovat vlastní nebo nevlastní limita :. Tento předpoklad je podstatný jen pro to, abychom z neexistence limity podílu derivací nevyvozovali neexistenci limity podílu původních funkcí. Symbolem značíme derivaci funkce .

Tvrzení[editovat | editovat zdroj]

L'Hospitalovo pravidlo říká, že za těchto předpokladů existuje limita

a platí

Tj. limita podílu funkcí se rovná limitě podílu jejich derivací.

Příklady[editovat | editovat zdroj]

Limita v nekonečnu[editovat | editovat zdroj]

Graf funkce k příkladu.

Chceme vypočítat

Máme tedy .

Všechny předpoklady kromě posledního jsou splněny. Poslední není na první pohled zřejmý - je nutno ověřit existenci .

Toto ověření lze provést další aplikací L'Hopitalova pravidla na tuto novou limitu: Limita podílu druhých derivací je .

Z toho plyne, že jsou splněny předpoklady druhé aplikace L'Hopitalova pravidla, proto platí . Teprve z toho plyne, že můžeme L'Hopitalovo pravidlo použít i na náš původní příklad a platí .

Význam předpokladů[editovat | editovat zdroj]

V následujících případech tvrzení L'Hospitalova pravidla neplatí, protože nejsou splněny předpoklady.

Typ limity[editovat | editovat zdroj]

Pravidlo platí jen pro limity typu či . Příkladem funkcí, které tento předpoklad nesplňují, je . Limita jejich podílu v nule je rovna dvěma, ačkoli dle L'Hospitalova pravidla by vyšla jedna.

Existence limity podílu derivací[editovat | editovat zdroj]

Pokud neexistuje , nelze z toho usuzovat, že neexistuje ani . Příkladem jsou funkce pro .

Pro ně platí

První člen jde k nule, ale druhý v blízkosti nuly osciluje mezi funkcí a . Proto neexistuje limita podílu derivací, ale původní limita je rovna nule - což plyne z toho, že pro každé leží v intervalu .

Reference[editovat | editovat zdroj]

  1. l’Hospital, Analyse des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes, strany 145–146
  2. http://www.techmania.cz/edutorium/art_vedci.php?key=1006
  3. http://math.feld.cvut.cz/mt/txta/2/txc3aa2f.htm

.