Konexe

Konexe (z lat. connexio = spojení, svázání) je geometrický objekt na hladké varietě, který definuje způsob, jakým spolu sousední body variety „komunikují“ z hlediska geometrických vektorů a tenzorů. Umožňuje definovat paralelní přenos a následně i derivování tenzorových polí způsobem, který nezávisí na volbě souřadnic.

Geometrický význam

V eukleidovském prostoru je paralelní přenos vektoru triviální – vektor se prostě posune, aniž by změnil svůj směr nebo velikost vůči fixní souřadnicové soustavě. Na zakřivené varietě (např. na povrchu koule) však tečné prostory v různých bodech nejsou identické. Konexe určuje, jakou korekci je potřeba se složkami vektorů udělat, aby se jejich geometrický směr zachoval „rovnoběžný“ i po přesunu do jiného bodu.

Bez konexe není možné na varietě smysluplně srovnávat vektory v různých bodech ani definovat derivaci vektorového pole, protože parciální derivace složek vektoru závisí na volbě souřadnic a netransformuje se jako tenzor.

Typy konexí

V moderní geometrii existuje několik hierarchicky odstupňovaných typů konexí:

Afinní konexe: Nejobecnější lineární konexe na tečném svazku variety. Umožňuje definovat geodetiky (přímky na zakřivených plochách) a kovariantní derivaci.
Levi-Civitova konexe: Speciální afinní konexe, která je unikátně určena metrickým tenzorem. Je to konexe, která se používá v obecné relativitě. Je beztorzní a zachovává metriku (skalární součin vektorů se při paralelním přenosu nemění).
Konexe na hlavních svazcích: Zobecnění používané v kalibračních teoriích částicové fyziky (např. Yangova-Millsova teorie), kde konexe reprezentuje fyzikální interakce (síly).

Matematické vyjádření

V lokálních souřadnicích je afinní konexe popsána souborem funkcí nazývaných Christoffelovy symboly $\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }$ . Tyto symboly nejsou složkami tenzoru, protože se při změně souřadnic transformují nehomogenním způsobem, který právě kompenzuje „zakřivení“ souřadnicových čar.

Kovariantní derivace vektoru $V^{\mu }$ je pak definována pomocí konexe jako:

\nabla _{\beta }V^{\mu }=\partial _{\beta }V^{\mu }+\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }V^{\alpha }

Historie

Základy teorie konexí položil v roce 1869 Elwin Bruno Christoffel. Skutečný geometrický průlom však nastal až v roce 1917, kdy Tullio Levi-Civita zavedl koncept paralelního přenosu. Ve 20. letech 20. století pak Élie Cartan zobecnil teorii konexí pomocí metody pohyblivých repérů (moving frame) a propojil ji s teorií Lieových grup, čímž vytvořil základ pro moderní diferenciální geometrii.

Související články

Literatura

FECKO, Marián. Differential Geometry and Lie Groups for Physicists. [s.l.]: Cambridge University Press, 2006. Dostupné online. ISBN 978-0521845076.
KOBAYASHI, Shoshichi. Foundations of Differential Geometry, Vol. 1. [s.l.]: Wiley-Interscience, 1963.
KRUPKA, Demeter. Úvod do analýzy na varietách. [s.l.]: Státní pedagogické nakladatelství, 1986.

Externí odkazy

Obrázky, zvuky či videa k tématu Konexe na Wikimedia Commons