Matici, která vznikne z matice
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
transponovanou matici a značíme
A
T
{\displaystyle \mathbf {A} ^{T}}
a
i
j
T
=
a
j
i
{\displaystyle a_{ij}^{T}=a_{ji}\,}
Pokud má matice
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
(
m
,
n
)
{\displaystyle (m,n)}
(
n
,
m
)
{\displaystyle (n,m)}
A
=
(
0
1
2
3
4
5
6
7
)
{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}0&1&2&3\\4&5&6&7\end{pmatrix}}}
A
T
=
(
0
4
1
5
2
6
3
7
)
{\displaystyle \mathbf {A} ^{T}={\begin{pmatrix}0&4\\1&5\\2&6\\3&7\end{pmatrix}}}
(
a
b
c
d
)
T
=
(
a
c
b
d
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}^{T}={\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}}
Dvojitou transpozicí získáváme zpět původní matici:
(
A
T
)
T
=
A
{\displaystyle \left(\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\right)^{\mathrm {T} }=\mathbf {A} \quad \,}
Násobení skalárem se dá vytknout před operaci transpozice:
(
c
A
)
T
=
c
A
T
{\displaystyle (c\mathbf {A} )^{\mathrm {T} }=c\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\,}
Transpozice součtu matic je součtem transponovaných matic:
(
A
+
B
)
T
=
A
T
+
B
T
{\displaystyle (\mathbf {A} +\mathbf {B} )^{\mathrm {T} }=\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }+\mathbf {B} ^{\mathrm {T} }\,}
Transpozice součinu dvou matic je součinem transponovaných matic v obráceném pořadí:
(
A
B
)
T
=
B
T
A
T
{\displaystyle \left(\mathbf {AB} \right)^{\mathrm {T} }=\mathbf {B} ^{\mathrm {T} }\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\,}
Transpozice inverzní matice je rovna inverzi transponované matice:
(
A
T
)
−
1
=
(
A
−
1
)
T
{\displaystyle \left(\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\right)^{\mathrm {-1} }=\left(\mathbf {A} ^{\mathrm {-1} }\right)^{\mathrm {T} }\,}
