Inverzní matice

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Inverzní matice k dané matici je taková matice, která po vynásobení s původní maticí dá jednotkovou matici. Výpočet inverzní matice je důležitý při řešení řady úloh z lineární algebry, statistiky a dalších oborů užité matematiky.

Značení[editovat | editovat zdroj]

Inverzní matici k matici A značíme A-1.

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Vynásobením matice s její inverzí dostáváme jednotkovou matici.

kde 1 je jednotková matice.

Inverzní matici lze sestrojit pouze pro regulární matici – čtvercovou matici jejíž determinant není roven nule.

Pro obdélníkovou matici můžeme sestrojit tzv. pseudoinverzi matice.

Výpočet inverzní matice[editovat | editovat zdroj]

Základní metodou výpočtu inverzní matice je Gauss-Jordanova eliminační metoda. Postup:

  1. Vedle sebe napíšeme matici, kterou chceme invertovat, a jednotkovou matici.
  2. Matici upravujeme na jednotkovou matici standardními způsoby:
    • záměna řádků
    • vynásobení řádku skalárem (nejčastěji přirozeným číslem)
    • přičtení násobku jednoho řádku k jinému
  3. Každý úkon prováděný na upravované matici musíme provést i na jednotkové matici.
  4. Zkoušku provedeme vynásobením matice s její inverzí.

Pro zvýšení numerické přesnosti se při faktických výpočtech na samočinných počítačích provádí obvykle navíc pivotace prvků.

Příklad[editovat | editovat zdroj]

V tomto příkladě se inverzní matice hledá Gauss-Jordanovou eliminační metodou. Nejprve se matice nalevo převede na trojúhelníkovou, ve které budou všechny prvky pod diagonálou nulové. Následně se tato matice převede na jednotkovou. Současně s maticí nalevo se provádějí všechny operace i s maticí napravo. Tento postup je zcela obecný a pokud je matice regulární, vždy vede přímo k cíli.

Vlevo zadaná matice, vpravo matice jednotková:

Nejprve postupujeme shora dolů. První řádek necháme, od druhého řádku odečteme (jednonásobek) první a od třetího odečteme také (jednonásobek) první. Druhý a třetí řádek vynásobíme s (-1), což je povoleno.

První a druhý řádek necháme, od třetího odečteme polovinu druhého.

Nyní pro jednoduchost dalších operací vynásobíme řádky převrácenými hodnotami jejich prvků na diagonále. První řádek necháme (vynásobíme jedničkou), druhý vynásobíme a třetí -1.

Získali jsme trojúhelníkovou matici s jedničkami na diagonále. V dalších krocích převedeme matici tak, aby i prvky nad diagonálou byly nulové. Postupujeme zdola nahoru. Poslední řádek necháme, od druhého řádku odečteme dvojnásobek třetího a od prvního řádku odečteme pětinásobek třetího.

V posledním kroku odečteme od prvního řádku trojnásobek druhého.

Výpočet prvků inverzní matice přímo[editovat | editovat zdroj]

Existuje ještě jiný způsob výpočtu inverzní matice - pomocí determinantů a subdeterminantů. Matice má prvky kde je řádek a je sloupec pak , kde je subdeterminant získaný z matice vynecháním -tého řádku a -tého sloupce, je determinant matice .

Tento postup je pouze rozložením výpočtu inverzní matice pomocí adjungované matice do jednotlivých kroků.

Řešení soustavy lineárních algebraických rovnic[editovat | editovat zdroj]

Inverzní matici lze využít k nalezení řešení soustavy lineárních algebraických rovnic.

Je-li matice soustavy rovnic čtvercová (tedy ) a regulární, pak lze řešení soustavy rovnic

získat pomocí matice , která je inverzní k matici , neboť platí že

Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]