Pseudoinverze matice

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Pseudoinverzní matice nebo též zobecněná inverze se používá ke zobecnění pojmu inverzní matice v případech, kdy matice je čtvercová singulární, nebo obdélníková, tedy v případech, kdy klasická inverze neexistuje. Pojem inverze lze zobecnit mnoha různými způsoby. V praxi se nejčastěji setkáme s tzv. Moore–Penroseovou pseudoinverzí, kterou poprvé zavedli Moore (1920) a Penrose (1931) a obvykle se značí .

Moore–Penroseova pseudoinverze[editovat | editovat zdroj]

Definice[editovat | editovat zdroj]

Moore–Penroseovou pseudoinverzí matice nazveme matici, která je jednoznačným řešením soustavy čtyř (nelineárních) rovnic

(1)
(2)
(3)
(4)

tzv. Moore–Penroseových podmínek. Moore–Penroseovu pseudoinverzi značíme . (Všimněme si, že pro čtvercovou regulární matici a její inverzi jsou všechny podmínky splněny triviálně.)

Výpočet, alternativní definice[editovat | editovat zdroj]

Nechť , . Uvažujme singulární rozklad

kde

pak

Snadno ověříme, že takto zvolená matice splňuje všechny čtyři podmínky.

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Chápeme-li původní matici jako lineární zobrazení a provedeme-li jeho restrikci na , kde je bijektivní, pak Moore–Penroseova pseudoinverze reprezentuje jeho inverzi.

Má-li matice lineárně nezávislé sloupce, pak je regulární a

má-li naopak lineárně nezávislé řádky, pak je regulární a

Zřejmě, je-li matice regulární (speciálně má lineárně nezávislé řádky i sloupce), pak

Využití[editovat | editovat zdroj]

Uvažujme lineární aproximační problém

pak

je řešení ve smyslu nejmenších čtverců, má-li matice lineárně závislé sloupce, pak je to navíc řešení minimální v normě. Tedy,

navíc má minimální normu mezi všemi , které výraz vlevo minimalizují.


Další zobecněné inverze odvozené od Moore–Penroseových podmínek[editovat | editovat zdroj]

Uvažujme Moore–Penroseovy podmínky očíslované tak jak je uvedeno výše. Pro zobecnění pojmu inverzní matice není nezbytně nutné vyžadovat splnění všech čtyř podmínek. Následující zobecněné inverze jsou pojmenované a označené podle toho, které z podmínek splňují:

  • (1)-inverze, značíme ,
  • (1,2)-inverze, značíme ,
  • (1,2,3)-inverze, značíme ,
  • (1,2,4)-inverze, značíme ,
  • (1,2,3,4)-inverze, značíme .

Uvažujeme-li shora uvedený singulární rozklad matice , pak platí

pro libovolné matice , , .

(1,2)-inverze je taková (1)-inverze, pro kterou platí .

(1,2,3)-inverze je taková (1,2)-inverze, pro kterou , tedy

(1,2,4)-inverze je taková (1,2)-inverze, pro kterou , tedy

(1,2,3,4)-inverze je výše zmíněná Moore–Penroseova pseudoinverze.

V obecném případě je zřejmě (1,2,3,4)-inverze jediná zobecněná inverze z výše uvedených, která je dána jednoznačně.

Drazinova, grupová a spektrální zobecněná inverze[editovat | editovat zdroj]

Je-li navíc matice čtvercová (singulární), lze zobecnit i další vztahy, které klasická inverze přirozeně splňuje, například

(1k)
(5)  
(5k)
(6k)

Drazinova inverze[editovat | editovat zdroj]

Zobecněná inverzní matice, dle předchozí konvence (1k,2,5)-inverze, je tzv. Drazinova inverze. Podmínky (1k), (2) a (5) jsou ekvivalentní podmínkám

Grupová inverze[editovat | editovat zdroj]

Drazinova inverze pro , tedy (1,2,5)-inverze, se nazývá grupová inverze a značí se .

Spektrální inverze[editovat | editovat zdroj]

Je-li čtvercová singulární matice diagonalizovatelná, tj. , kde je diagonální s vlastními čísly na diagonále. Zobecněnou inverzi můžeme definovat pomocí vztahu

Tato inverze zřejmě splňuje podmínky (1), (2), (5), je tedy grupovou inverzí, a nazývá se spektrální inverze.

Je-li navíc matice normální, tj. , pak její spektrální inverze a Moore–Penroseova pseudoinverze splývají.

Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]

Moore–Penrose Inverse

Literatura[editovat | editovat zdroj]

  • Adi Ben-Israel, Thomas N. E. Greville, Generalized inverses, Theory and a applications, Springer Verlag, Berlin, 2003 (Second Edition).
  • M. Zuhair Nashed (Ed.), Generalized inverses and applications, Academic Press, New York, 1976.