Diagonalizovatelná matice

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání

V lineární algebře se čtvercové matici říká diagonizovatelná, pokud je podobná diagonální matici , tzn. pokud existuje taková regulární matice , pro kterou by platilo . Úzce souvisejícím pojmem je diagonalizovatelné lineární zobrazení: tak se označuje endomorfismus nad vektorovým prostorem , pokud existuje báze (zvaná diagonální báze), vzhledem ke které je reprezentováno diagonální maticí. Diagonalizace je proces hledání odpovídající diagonální matice a diagonální báze pro čtvercovou matici, resp. endomorfismus.

Čtvercová matice, resp. endomorfismus, které nejsou diagonalizovatelné, se označují jako defektní.

Diagonizovatelné matice a zobrazení jsou předmětem zájmu, protože s diagonálními maticemi se velmi snadno pracuje: jejich vlastní čísla a vlastní vektory jsou zřejmé a umocňování diagonální matice je také snadné, protože stačí umocnit jednotlivé prvky na diagonále matice. V případě, že matice není diagonalizovatelná, tyto vlastnosti do jisté míry supluje tzv. Jordanův tvar, který mají všechny matice.

Pojmy diagonalizovatelnost a diagonalizace se užívají i v kontextu bilineárních a seskvilineárních forem, jejich matice ovšem nejsou v různých bázích podobné (), ale kongruentní (). Bázi, ve které je bilineární forma diagonální, se říká polární báze a kvůli zmíněným rozdílům v transformaci forem a zobrazení je obecně jiná než diagonální báze zobrazení. Důležitou výjimku ovšem tvoří případy, kdy je ortogonální a platí . Tímto případem se podrobně zabývá ortogonální diagonalizace.[1]

Podmínka diagonalizovatelnosti[editovat | editovat zdroj]

Otázka, zda je matice diagonalizovatelná, úzce souvisí s pojmy algebraická a geometrická násobnost vlastního čísla.

Vlastní číslo matice je takové , které pro nějaký vektor splňuje . Tato podmínka se dá snadno přepsat jako .

Máme-li matici a její vlastní číslo , hodnota se nazývá geometrickou násobností vlastního čísla .

Polynom se nazývá charakteristický polynom matice a jeho kořeny jsou vlastními čísly . Termínem algebraická násobnost se označuje násobnost jako kořene tohoto polynomu.

Věta: Nechť je čtvercová matice a její vlastní čísla. je diagonalizovatelná právě tehdy, je-li algebraická násobnost každého rovna jeho geometrické násobnosti.[1]

Algoritmus pro nalezení diagonálního tvaru[editovat | editovat zdroj]

Hledání diagonálního tvaru a matice přechodu lze shrnout do několika kroků:

  1. Vyjáříme si charakteristický polynom , najdeme jeho kořeny a poznamenáme si jejich násobnost.
  2. Matice bude mít tvar , každé bude na diagonále tolikrát, jaká je jeho násobnost.
  3. Pro každé najdeme jádro matice . Následně nalezneme bázi tohoto jádra , je násobnost .
  4. Sloupce matice budou tvořeny vektory .
  5. Nalezneme inverzní matici .
  6. Platí , .

Příklad[editovat | editovat zdroj]

Uvažujme matici:

Charakteristický polynom matice je:

Matice má tedy 3 vlastní čísla s násobností 1:

Diagonální tvar matice je tedy, na pořadí vlastních čísel nezáleží:

Nyní nalezneme ke každému vlastní vektory. Jsou to:

Jednoduchou kontrolou je:

Matici získáme tak, že vlastní vektory zapíšeme do sloupců. Zde již na pořadí záleží, musí být stejné jako pořadí odpovídajících vlastních čísel v .

Nakonec k najdeme inverzi:

Přímým výpočtem lze ověřit, že :

Současná diagonalizovatelnost[editovat | editovat zdroj]

Matice se označují jako současně diagonalizovatelné, pokud existuje takové , že jak , tak jsou diagonální. Obdobně endomorfismy jsou současně diagonalizovatelné, pokud existuje taková báze, ve které jsou oba diagonální.

Věta: Nechť je vektorový prostor a množina diagonalizovatelných endomorfismů na . Pak je současně diagonalizovatelná, právě když každé dva endomorfismy v ní komutují.[1]

Reference[editovat | editovat zdroj]

  1. a b c ŠMÍD, Dalibor. Lineární algebra pro fyziky. Verze z 15. května 2019. Dostupné také z: http://msekce.karlin.mff.cuni.cz/~smid/pmwiki/pmwiki.php?n=Main.LAproFLS1819