Diagonalizovatelná matice

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

V lineární algebře se čtvercové matici A říká diagonizovatelná, pokud je podobná diagonální matici D, tzn. pokud platí , kde R je regulární matice. Pokud V je konečně dimenzionální vektorový prostor, pak lineární zobrazení T : V → V se nazývá diagonizovatelné, pokud existuje báze V, vzhledem ke které je T reprezentováno diagonální maticí. Diagonalizace je proces hledání odpovídající diagonální matice pro diagonizovatelnou matici nebo pro lineární zobrazení.

Diagonizovatelné matice a zobrazení jsou předmětem zájmu proto, že s diagonálními maticemi se velmi snadno pracuje: jejich vlastní čísla a vlastní vektory jsou zřejmé a umocňování diagonální matice je také snadné, protože stačí umocnit jednotlivé prvky na diagonále matice.

Jak diagonalizovat matici[editovat | editovat zdroj]

Uvažme matici:

Matice má vlastní čísla:

Matice A je matice 3. stupně a má 3 různá vlastní čísla, tedy je diagonalizovatelná.

Pokud chceme diagonalizovat matici A, je nutné spočítat odpovídající vlastní vektory. Jsou to:

Jednoduchou kontrolou je:

Nyní vytvořme matici P z vlastních vektorů tak, že si vlastní vektory napíšeme do sloupců:

Pak P diagonalizuje A, což lze jednoduše ověřit výpočtem:

Poznamenejme, že vlastní čísla jsou prvky na diagonále matice.