Diagonalizovatelná matice

V lineární algebře se čtvercové matici $A$ říká diagonizovatelná, pokud je podobná diagonální matici $D$, tzn. pokud existuje taková regulární matice $R$, pro kterou by platilo $A=R\,D\,R^{-1}$. Úzce souvisejícím pojmem je diagonalizovatelné lineární zobrazení: tak se označuje endomorfismus $T:V\rightarrow V$ nad vektorovým prostorem $V$, pokud existuje báze $V$ (zvaná diagonální báze), vzhledem ke které je $T$ reprezentováno diagonální maticí. Diagonalizace je proces hledání odpovídající diagonální matice a diagonální báze pro čtvercovou matici, resp. endomorfismus.

Čtvercová matice, resp. endomorfismus, které nejsou diagonalizovatelné, se označují jako defektní.

Diagonizovatelné matice a zobrazení jsou předmětem zájmu, protože s diagonálními maticemi se velmi snadno pracuje: jejich vlastní čísla a vlastní vektory jsou zřejmé a umocňování diagonální matice je také snadné, protože stačí umocnit jednotlivé prvky na diagonále matice. V případě, že matice není diagonalizovatelná, tyto vlastnosti do jisté míry supluje tzv. Jordanův tvar, který mají všechny matice.

Pojmy diagonalizovatelnost a diagonalizace se užívají i v kontextu bilineárních a seskvilineárních forem, jejich matice ovšem nejsou v různých bázích podobné ($A=R\,D\,R^{-1}$), ale kongruentní ($A=R^{T}D\,R$). Bázi, ve které je bilineární forma diagonální, se říká polární báze a kvůli zmíněným rozdílům v transformaci forem a zobrazení je obecně jiná než diagonální báze zobrazení. Důležitou výjimku ovšem tvoří případy, kdy je $R$ ortogonální a platí $R^{T}=R^{-1}\implies R^{-1}A\,R=R^{T}A\,R$. Tímto případem se podrobně zabývá ortogonální diagonalizace.

Podmínka diagonalizovatelnosti

Otázka, zda je matice diagonalizovatelná, úzce souvisí s pojmy algebraická a geometrická násobnost vlastního čísla.

Vlastní číslo matice je takové $\lambda$, které pro nějaký vektor $v$ splňuje $Av=\lambda v$. Tato podmínka se dá snadno přepsat jako $(A-\lambda E)\,v=0$.

Máme-li matici $A$ a její vlastní číslo $\lambda$, hodnota $\dim \mathrm {Ker} \,(A-\lambda E)$ se nazývá geometrickou násobností vlastního čísla $\lambda$.

Polynom $p_{A}(\lambda )=\det(A-\lambda E)$ se nazývá charakteristický polynom matice $A$ a jeho kořeny jsou vlastními čísly $A$. Termínem algebraická násobnost se označuje násobnost $\lambda$ jako kořene tohoto polynomu.

Věta: Nechť $A$ je čtvercová matice a $\lambda _{1},\,\dots ,\,\lambda _{k}$ její vlastní čísla. $A$ je diagonalizovatelná právě tehdy, je-li algebraická násobnost každého $\lambda _{i}$ rovna jeho geometrické násobnosti.

Algoritmus pro nalezení diagonálního tvaru

Hledání diagonálního tvaru $D$ a matice přechodu $R$ lze shrnout do několika kroků:

1. Vyjáříme si charakteristický polynom $\det(A-\lambda E)$, najdeme jeho kořeny $\lambda _{1},\,...,\,\lambda _{k}$ a poznamenáme si jejich násobnost.
2. Matice $D$ bude mít tvar $D=\mathrm {diag} (\lambda _{1},\,...,\,\lambda _{1},\lambda _{2},\,...,\,\lambda _{k})$, každé $\lambda _{i}$ bude na diagonále tolikrát, jaká je jeho násobnost.
3. Pro každé $\lambda _{i}$ najdeme jádro matice $(A-\lambda E)$. Následně nalezneme bázi tohoto jádra $(v_{i,1},\,...,\,v_{i,m})$, $m$ je násobnost $\lambda _{i}$.
4. Sloupce matice $R$ budou tvořeny vektory $(v_{1,1}\,|\,v_{1,2}\,|\,...|\,v_{1,m}\,|\,v_{2,1}\,|\,...|\,v_{k,n})$.
5. Nalezneme inverzní matici $R^{-1}$.
6. Platí $A=R\,D\,R^{-1}$, $D=R^{-1}A\,R$.

Příklad

Uvažujme matici:

$A={\begin{pmatrix}1&2&0\\0&3&0\\2&-4&2\end{pmatrix}}.$

Charakteristický polynom matice je:

$\det(A-\lambda E)=\det {\begin{pmatrix}1-\lambda &2&0\\0&3-\lambda &0\\2&-4&2-\lambda \end{pmatrix}}=(1-\lambda )(2-\lambda )(3-\lambda ).$

Matice má tedy 3 vlastní čísla s násobností 1:

$\lambda _{1}=3,\quad \lambda _{2}=2,\quad \lambda _{3}=1.$

Diagonální tvar matice je tedy, na pořadí vlastních čísel nezáleží:

$D={\begin{pmatrix}3&0&0\\0&2&0\\0&0&1\end{pmatrix}}.$

Nyní nalezneme ke každému $\lambda _{i}$ vlastní vektory. Jsou to:

$v_{1}={\begin{pmatrix}-1\\-1\\2\end{pmatrix}}\in \mathrm {Ker} (A-3E),$

$v_{2}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\in \mathrm {Ker} (A-2E),$

$v_{3}={\begin{pmatrix}-1\\0\\2\end{pmatrix}}\in \mathrm {Ker} (A-E).$

Jednoduchou kontrolou je: $Av_{k}=\lambda _{k}v_{k}$

Matici $R$ získáme tak, že vlastní vektory zapíšeme do sloupců. Zde již na pořadí záleží, musí být stejné jako pořadí odpovídajících vlastních čísel v $D$.

$R={\begin{pmatrix}-1&0&-1\\-1&0&0\\2&1&2\end{pmatrix}}.$

Nakonec k $R$ najdeme inverzi:

$R^{-1}={\begin{pmatrix}0&-1&0\\2&0&1\\-1&1&0\end{pmatrix}}$

Přímým výpočtem lze ověřit, že $R^{-1}A\,R=D$:

$R^{-1}AR={\begin{pmatrix}0&-1&0\\2&0&1\\-1&1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&2&0\\0&3&0\\2&-4&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&0&-1\\-1&0&0\\2&1&2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3&0&0\\0&2&0\\0&0&1\end{pmatrix}}.$

Současná diagonalizovatelnost

Matice $A,B$ se označují jako současně diagonalizovatelné, pokud existuje takové $R$, že jak $R^{-1}A\,R$, tak $R^{-1}B\,R$ jsou diagonální. Obdobně endomorfismy $S,T$ jsou současně diagonalizovatelné, pokud existuje taková báze, ve které jsou oba diagonální.

Věta: Nechť $V$ je vektorový prostor a $M$ množina diagonalizovatelných endomorfismů na $V$. Pak je $M$ současně diagonalizovatelná, právě když každé dva endomorfismy v ní komutují.

Reference

Portály: Matematika