Cramerovo pravidlo

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání

Cramerovo pravidlo je algoritmus umožňující nalezení řešení soustavy lineárních algebraických rovnic. Roku 1750 ho uveřejnil Gabriel Cramer, už předtím však toto pravidlo nalezl Leibniz.

Postup[editovat | editovat zdroj]

Mějme soustavu lineárních rovnic, která obsahuje stejně neznámých jako rovnic. Označme matici soustavy (je typu ). Dále označme jako matici, kterou získáme z matice , nahradíme-li v ní -tý sloupec sloupcem pravých stran soustavy rovnic.

Pokud zapíšeme matice soustavy a vektor pravých stran jako

,

pak má tvar


Pokud je determinant matice soustavy nenulový, , tzn. matice je regulární, pak má soustava právě jedno řešení, pro které platí

pro . Čísla spolu tvoří jedno řešení.

Příklad[editovat | editovat zdroj]

Úkolem je řešit soustavu rovnic

Determinant matice soustavy je

Poněvadž je , lze použít Cramerovo pravidlo.

Dále určíme

Řešení má tedy tvar

Zkouškou se přesvědčíme, že se skutečně jedná o řešení uvedené soustavy.

Důkaz[editovat | editovat zdroj]

Jestliže matici získanou vynecháním j-tého řádku a i-tého sloupce matice označíme , pak rozvinutím determinantu v čitateli podle i-tého sloupce získáme

Zlomek ve výrazu je prvkem inverzní matice .

Protože a , je a tedy


Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]