Cramerovo pravidlo

Cramerovo pravidlo je algoritmus umožňující nalezení řešení soustavy lineárních algebraických rovnic. Roku 1750 ho uveřejnil Gabriel Cramer, už předtím však toto pravidlo nalezl Leibniz.

Postup

Mějme soustavu lineárních rovnic, která obsahuje stejně neznámých jako rovnic. Označme matici soustavy $\mathbf {A}$ (je typu $n\times n$). Dále označme $\mathbf {A} _{i}$ jako matici, kterou získáme z matice $\mathbf {A}$, nahradíme-li v ní $i$-tý sloupec sloupcem pravých stran soustavy rovnic.

Pokud zapíšeme matice soustavy a vektor pravých stran jako

$\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{pmatrix}}$

$\mathbf {B} ={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{n}\end{pmatrix}}$,

pak má $\mathbf {A} _{i}$ tvar

$\mathbf {A} _{i}={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1,i-1}&b_{1}&a_{1,i+1}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2,i-1}&b_{2}&a_{2,i+1}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\cdots &\cdots &\cdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{n,i-1}&b_{n}&a_{n,i+1}&\cdots &a_{nn}\end{pmatrix}}$

Pokud je determinant matice soustavy nenulový, $\det \mathbf {A} \neq 0$, tzn. matice $\mathbf {A}$ je regulární, pak má soustava právě jedno řešení, pro které platí

$x_{i}={\frac {\det \mathbf {A} _{i}}{\det \mathbf {A} }}$

pro $i=1,2,...,n$. Čísla $x_{1}$ až $x_{n}$ spolu tvoří jedno řešení.

Příklad

Úkolem je řešit soustavu rovnic

$x+y=3$

$x-2y=1$

Determinant matice soustavy je

$\det \mathbf {A} ={\begin{vmatrix}1&1\\1&-2\end{vmatrix}}=-3$

Poněvadž je $\det \mathbf {A} \neq 0$, lze použít Cramerovo pravidlo.

Dále určíme

$\det \mathbf {A} _{1}={\begin{vmatrix}3&1\\1&-2\end{vmatrix}}=-7$

$\det \mathbf {A} _{2}={\begin{vmatrix}1&3\\1&1\end{vmatrix}}=-2$

Řešení má tedy tvar

$x={\frac {\det \mathbf {A} _{1}}{\det \mathbf {A} }}={\frac {-7}{-3}}={\frac {7}{3}}$

$y={\frac {\det \mathbf {A} _{2}}{\det \mathbf {A} }}={\frac {-2}{-3}}={\frac {2}{3}}$

Zkouškou se přesvědčíme, že se skutečně jedná o řešení uvedené soustavy.

Důkaz

${\frac {\det \mathbf {A} _{i}}{\det \mathbf {A} }}={\frac {1}{\det \mathbf {A} }}{\begin{vmatrix}a_{1,1}&\cdots &a_{1,i-1}&b_{1}&a_{1,i+1}&\cdots &a_{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{j-1,1}&\cdots &a_{j-1,i-1}&b_{j-1}&a_{j-1,i+1}&\cdots &a_{j-1,n}\\a_{j,1}&\cdots &a_{j,i-1}&b_{j}&a_{j,i+1}&\cdots &a_{j,n}\\a_{j+1,1}&\cdots &a_{j+1,i-1}&b_{j+1}&a_{j+1,i+1}&\cdots &a_{j+1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n,1}&\cdots &a_{n,i-1}&b_{n}&a_{n,i+1}&\cdots &a_{n,n}\\\end{vmatrix}}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {b_{j}}{\det \mathbf {A} }}{\begin{vmatrix}a_{1,1}&\cdots &a_{1,i-1}&0&a_{1,i+1}&\cdots &a_{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{j-1,1}&\cdots &a_{j-1,i-1}&0&a_{j-1,i+1}&\cdots &a_{j-1,n}\\a_{j,1}&\cdots &a_{j,i-1}&1&a_{j,i+1}&\cdots &a_{j,n}\\a_{j+1,1}&\cdots &a_{j+1,i-1}&0&a_{j+1,i+1}&\cdots &a_{j+1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n,1}&\cdots &a_{n,i-1}&0&a_{n,i+1}&\cdots &a_{n,n}\\\end{vmatrix}}$

Jestliže matici získanou vynecháním j-tého řádku a i-tého sloupce matice $\mathbf {A}$ označíme $\mathbf {A} _{ji}$, pak rozvinutím determinantu v čitateli podle i-tého sloupce získáme

${\frac {\det \mathbf {A} _{i}}{\det \mathbf {A} }}=\sum _{j=1}^{n}b_{j}{\frac {(-1)^{i+j}\det \mathbf {A} _{ji}}{\det \mathbf {A} }}$

Zlomek ve výrazu je prvkem $(\mathbf {A} ^{-1})_{i,j}$ inverzní matice $\mathbf {A} ^{-1}$.

${\frac {\det \mathbf {A} _{i}}{\det \mathbf {A} }}=\sum _{j=1}^{n}(\mathbf {A} ^{-1})_{i,j}b_{j}=(\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {b} )_{i}$

Protože $\mathbf {Ax} =\mathbf {b}$ a $\det \mathbf {A} \neq 0$, je $\mathbf {x} =\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {b}$ a tedy

$x_{i}={\frac {\det \mathbf {A} _{i}}{\det \mathbf {A} }}$

Související články

• Soustava lineárních rovnic
• Matice
• Determinant

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Cramerovo pravidlo na Wikimedia Commons
• Pěstujeme lineární algebru
• Online výpočet soustav lineárních rovnic

Portály: Matematika