Cramerovo pravidlo

Cramerovo pravidlo je metoda umožňující nalezení řešení soustavy lineárních algebraických rovnic.

Postup

Mějme soustavu lineárních rovnic, která obsahuje stejně neznámých jako rovnic. Označme matici soustavy $\mathbf {A}$ (je typu $n\times n$). Dále označme $\mathbf {A} _{i}$ jako matici, kterou získáme z matice $\mathbf {A}$, nahradíme-li v ní $i$-tý sloupec sloupcem pravých stran soustavy rovnic.

Pokud zapíšeme matice soustavy a vektor pravých stran jako

$\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{pmatrix}}$

$\mathbf {B} ={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{n}\end{pmatrix}}$,

pak má $\mathbf {A} _{i}$ tvar

$\mathbf {A} _{i}={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1,i-1}&b_{1}&a_{1,i+1}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2,i-1}&b_{2}&a_{2,i+1}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\cdots &\cdots &\cdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{n,i-1}&b_{n}&a_{n,i+1}&\cdots &a_{nn}\end{pmatrix}}$

Pokud je determinant matice soustavy nenulový, $\det \mathbf {A} \neq 0$, tzn. matice $\mathbf {A}$ je regulární, pak má soustava právě jedno řešení, pro které platí

$x_{i}={\frac {\det \mathbf {A} _{i}}{\det \mathbf {A} }}$

pro $i=1,2,...,n$. Čísla $x_{1}$ až $x_{n}$ spolu tvoří jedno řešení.

Příklad

Úkolem je řešit soustavu rovnic

$x+y=3$

$x-2y=1$

Determinant matice soustavy je

$\det \mathbf {A} ={\begin{vmatrix}1&1\\1&-2\end{vmatrix}}=-3$

Poněvadž je $\det \mathbf {A} \neq 0$, lze použít Cramerovo pravidlo.

Dále určíme

$\det \mathbf {A} _{1}={\begin{vmatrix}3&1\\1&-2\end{vmatrix}}=-7$

$\det \mathbf {A} _{2}={\begin{vmatrix}1&3\\1&1\end{vmatrix}}=-2$

Řešení má tedy tvar

$x={\frac {\det \mathbf {A} _{1}}{\det \mathbf {A} }}={\frac {-7}{-3}}={\frac {7}{3}}$

$y={\frac {\det \mathbf {A} _{2}}{\det \mathbf {A} }}={\frac {-2}{-3}}={\frac {2}{3}}$

Zkouškou se přesvědčíme, že se skutečně jedná o řešení uvedené soustavy.

Důkaz

${\frac {\det \mathbf {A} _{i}}{\det \mathbf {A} }}={\frac {\begin{vmatrix}a_{1,1}&\cdots &a_{1,i-1}&b_{1}&a_{1,i+1}&\cdots &a_{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{j-1,1}&\cdots &a_{j-1,i-1}&b_{j-1}&a_{j-1,i+1}&\cdots &a_{j-1,n}\\a_{j,1}&\cdots &a_{j,i-1}&b_{j}&a_{j,i+1}&\cdots &a_{j,n}\\a_{j+1,1}&\cdots &a_{j+1,i-1}&b_{j+1}&a_{j+1,i+1}&\cdots &a_{j+1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n,1}&\cdots &a_{n,i-1}&b_{n}&a_{n,i+1}&\cdots &a_{n,n}\\\end{vmatrix}}{\det \mathbf {A} }}=\sum _{j=1}^{n}b_{j}{\frac {\begin{vmatrix}a_{1,1}&\cdots &a_{1,i-1}&0&a_{1,i+1}&\cdots &a_{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{j-1,1}&\cdots &a_{j-1,i-1}&0&a_{j-1,i+1}&\cdots &a_{j-1,n}\\a_{j,1}&\cdots &a_{j,i-1}&1&a_{j,i+1}&\cdots &a_{j,n}\\a_{j+1,1}&\cdots &a_{j+1,i-1}&0&a_{j+1,i+1}&\cdots &a_{j+1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n,1}&\cdots &a_{n,i-1}&0&a_{n,i+1}&\cdots &a_{n,n}\\\end{vmatrix}}{\det \mathbf {A} }}$

Jestliže matici získanou vynecháním j-tého řádku a i-tého sloupce matice $\mathbf {A}$ označíme $\mathbf {A} _{ji}$, pak rozvinutím determinantu v čitateli podle i-tého sloupce získáme

${\frac {\det \mathbf {A} _{i}}{\det \mathbf {A} }}=\sum _{j=1}^{n}b_{j}{\frac {(-1)^{i+j}\det \mathbf {A} _{ji}}{\det \mathbf {A} }}$

Zlomek ve výrazu je prvkem $(\mathbf {A} ^{-1})_{i,j}$ inverzní matice $\mathbf {A} ^{-1}$.

${\frac {\det \mathbf {A} _{i}}{\det \mathbf {A} }}=\sum _{j=1}^{n}(\mathbf {A} ^{-1})_{i,j}b_{j}=(\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {b} )_{i}$

Protože $\mathbf {Ax} =\mathbf {b}$ a $\det \mathbf {A} \neq 0$, je $\mathbf {x} =\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {b}$ a tedy

$x_{i}={\frac {\det \mathbf {A} _{i}}{\det \mathbf {A} }}$

Související články

• Soustava lineárních rovnic
• Matice
• Determinant

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Cramerovo pravidlo ve Wikimedia Commons
• Pěstujeme lineární algebru
• Online výpočet soustav lineárních rovnic

Portály: Matematika