Cramerovo pravidlo

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Cramerovo pravidlo je metoda umožňující nalezení řešení soustavy lineárních algebraických rovnic.

Postup[editovat | editovat zdroj]

Mějme soustavu lineárních rovnic, která obsahuje stejně neznámých jako rovnic. Označme matici soustavy (je typu n x n). Dále označme jako matici, kterou získáme z matice , nahradíme-li v ní -tý sloupec sloupcem pravých stran soustavy rovnic.

Pokud zapíšeme matice soustavy a vektor pravých stran jako

,

pak má tvar


Pokud je determinant matice soustavy nenulový, , tzn. matice je regulární, pak má soustava právě jedno řešení, pro které platí

pro . Čísla spolu tvoří jedno řešení.

Příklad[editovat | editovat zdroj]

Úkolem je řešit soustavu rovnic

Determinant matice soustavy je

Poněvadž je , lze použít Cramerovo pravidlo.

Dále určíme

Řešení má tedy tvar

Zkouškou se přesvědčíme, že se skutečně jedná o řešení uvedené soustavy.

Důkaz[editovat | editovat zdroj]

Jestliže matici získanou vynecháním j-tého řádku a i-tého sloupce matice označíme , pak rozvinutím determinantu v čitateli podle i-tého sloupce získáme

Zlomek ve výrazu je prvkem inverzní matice .

Protože a , je a tedy


Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]