Cramerovo pravidlo

Tato stránka je kandidátem na přesunutí na Wikiverzitu.

Tato stránka nesplňuje požadavky na encyklopedický článek.

• Pokud tato stránka může být rozšířena do encyklopedického článku, prosíme, a poté odstraňte tuto zprávu.
• Popisuje-li stránka více významů daného pojmu, které by bylo možné popsat encyklopedickými články, zvažte její předělání v rozcestník.

Pokud se domníváte, že stránka požadavky na encyklopedický článek splňuje, uveďte své námitky na diskusní stránce a tuto ceduli odstraňte.

Cramerovo pravidlo je metoda umožňující nalezení řešení soustavy lineárních algebraických rovnic.

Postup

Mějme soustavu lineárních rovnic, která obsahuje stejně neznámých jako rovnic. Označme matici soustavy $\mathbf {A}$$\mathbf{A}$ (je typu n x n). Dále označme $\mathbf {A} _{i}$$\mathbf{A}_i$ jako matici, kterou získáme z matice $\mathbf {A}$$\mathbf{A}$, nahradíme-li v ní $i$$i$-tý sloupec sloupcem pravých stran soustavy rovnic.

Pokud zapíšeme matice soustavy a vektor pravých stran jako

$\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{pmatrix}}$$\mathbf{A} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}$

$\mathbf {B} ={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{n}\end{pmatrix}}$$\mathbf{B} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix}$,

pak má $\mathbf {A} _{i}$$\mathbf{A}_i$ tvar

$\mathbf {A} _{i}={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1,i-1}&b_{1}&a_{1,i+1}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2,i-1}&b_{2}&a_{2,i+1}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\cdots &\cdots &\cdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{n,i-1}&b_{n}&a_{n,i+1}&\cdots &a_{nn}\end{pmatrix}}$$\mathbf{A}_i = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1,i-1} & b_1 & a_{1,i+1} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2,i-1} & b_2 & a_{2,i+1} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \cdots & \cdots & \cdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{n,i-1} & b_n & a_{n,i+1}& \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}$

Pokud je determinant matice soustavy nenulový, $\det \mathbf {A} \neq 0$$\det {\mathbf {A}}\neq 0$, tzn. matice $\mathbf {A}$$\mathbf{A}$ je regulární, pak má soustava právě jedno řešení, pro které platí

$x_{i}={\frac {\det \mathbf {A} _{i}}{\det \mathbf {A} }}$$x_i = \frac{\det \mathbf{A}_i}{\det \mathbf{A}}$

pro $i=1,2,...,n$$i = 1, 2, ..., n$. Čísla $x_{1}$$x_{1}$ až $x_{n}$$x_{n}$ spolu tvoří jedno řešení.

Příklad

Úkolem je řešit soustavu rovnic

$x+y=3$$x + y = 3$

$x-2y=1$$x - 2 y = 1$

Determinant matice soustavy je

$\det \mathbf {A} ={\begin{vmatrix}1&1\\1&-2\end{vmatrix}}=-3$$\det \mathbf{A} = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = -3$

Poněvadž je $\det \mathbf {A} \neq 0$$\det {\mathbf {A}}\neq 0$, lze použít Cramerovo pravidlo.

Dále určíme

$\det \mathbf {A} _{1}={\begin{vmatrix}3&1\\1&-2\end{vmatrix}}=-7$$\det \mathbf{A}_1 = \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = -7$

$\det \mathbf {A} _{2}={\begin{vmatrix}1&3\\1&1\end{vmatrix}}=-2$$\det \mathbf{A}_2 = \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -2$

Řešení má tedy tvar

$x={\frac {\det \mathbf {A} _{1}}{\det \mathbf {A} }}={\frac {-7}{-3}}={\frac {7}{3}}$$x = \frac{\det \mathbf{A}_1}{\det \mathbf{A}} = \frac{-7}{-3} = \frac{7}{3}$

$y={\frac {\det \mathbf {A} _{2}}{\det \mathbf {A} }}={\frac {-2}{-3}}={\frac {2}{3}}$$y = \frac{\det \mathbf{A}_2}{\det \mathbf{A}} = \frac{-2}{-3} = \frac{2}{3}$

Zkouškou se přesvědčíme, že se skutečně jedná o řešení uvedené soustavy.

Důkaz

${\frac {\det \mathbf {A} _{i}}{\det \mathbf {A} }}={\frac {\begin{vmatrix}a_{1,1}&\cdots &a_{1,i-1}&b_{1}&a_{1,i+1}&\cdots &a_{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{j-1,1}&\cdots &a_{j-1,i-1}&b_{j-1}&a_{j-1,i+1}&\cdots &a_{j-1,n}\\a_{j,1}&\cdots &a_{j,i-1}&b_{j}&a_{j,i+1}&\cdots &a_{j,n}\\a_{j+1,1}&\cdots &a_{j+1,i-1}&b_{j+1}&a_{j+1,i+1}&\cdots &a_{j+1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n,1}&\cdots &a_{n,i-1}&b_{n}&a_{n,i+1}&\cdots &a_{n,n}\\\end{vmatrix}}{\det \mathbf {A} }}=\sum _{j=1}^{n}b_{j}{\frac {\begin{vmatrix}a_{1,1}&\cdots &a_{1,i-1}&0&a_{1,i+1}&\cdots &a_{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{j-1,1}&\cdots &a_{j-1,i-1}&0&a_{j-1,i+1}&\cdots &a_{j-1,n}\\a_{j,1}&\cdots &a_{j,i-1}&1&a_{j,i+1}&\cdots &a_{j,n}\\a_{j+1,1}&\cdots &a_{j+1,i-1}&0&a_{j+1,i+1}&\cdots &a_{j+1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n,1}&\cdots &a_{n,i-1}&0&a_{n,i+1}&\cdots &a_{n,n}\\\end{vmatrix}}{\det \mathbf {A} }}$$\frac{\det \mathbf{A}_i}{\det \mathbf{A}}=\frac{ \begin{vmatrix} a_{1,1} & \cdots & a_{1,i-1} & b_1 & a_{1,i+1} & \cdots & a_{1,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{j-1,1} & \cdots & a_{j-1,i-1} & b_{j-1} & a_{j-1,i+1} & \cdots & a_{j-1,n} \\ a_{j,1} & \cdots & a_{j,i-1} & b_j & a_{j,i+1} & \cdots & a_{j,n} \\ a_{j+1,1} & \cdots & a_{j+1,i-1} & b_{j+1} & a_{j+1,i+1} & \cdots & a_{j+1,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1} & \cdots & a_{n,i-1} & b_n & a_{n,i+1} & \cdots & a_{n,n} \\ \end{vmatrix}}{\det \mathbf{A}}=\sum_{j=1}^n b_j\frac{ \begin{vmatrix} a_{1,1} & \cdots & a_{1,i-1} & 0 & a_{1,i+1} & \cdots & a_{1,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{j-1,1} & \cdots & a_{j-1,i-1} & 0 & a_{j-1,i+1} & \cdots & a_{j-1,n} \\ a_{j,1} & \cdots & a_{j,i-1} & 1 & a_{j,i+1} & \cdots & a_{j,n} \\ a_{j+1,1} & \cdots & a_{j+1,i-1} & 0 & a_{j+1,i+1} & \cdots & a_{j+1,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1} & \cdots & a_{n,i-1} & 0 & a_{n,i+1} & \cdots & a_{n,n} \\ \end{vmatrix}}{\det \mathbf{A}}$

Jestliže matici získanou vynecháním j-tého řádku a i-tého sloupce matice $\mathbf {A}$$\mathbf{A}$ označíme $\mathbf {A} _{ji}$$\mathbf{A}_{ji}$, pak rozvinutím determinantu v čitateli podle i-tého sloupce získáme

${\frac {\det \mathbf {A} _{i}}{\det \mathbf {A} }}=\sum _{j=1}^{n}b_{j}{\frac {(-1)^{i+j}\det \mathbf {A} _{ji}}{\det \mathbf {A} }}$$\frac{\det \mathbf{A}_i}{\det \mathbf{A}}=\sum_{j=1}^n b_j\frac{(-1)^{i+j}\det\mathbf{A}_{ji}}{\det \mathbf{A}}$

Zlomek ve výrazu je prvkem $(\mathbf {A} ^{-1})_{i,j}$$(\mathbf{A}^{-1})_{i,j}$ inverzní matice $\mathbf {A} ^{-1}$${\mathbf {A}}^{{-1}}$.

${\frac {\det \mathbf {A} _{i}}{\det \mathbf {A} }}=\sum _{j=1}^{n}(\mathbf {A} ^{-1})_{i,j}b_{j}=(\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {b} )_{i}$$\frac{\det \mathbf{A}_i}{\det \mathbf{A}}=\sum_{j=1}^n (\mathbf{A}^{-1})_{i,j}b_j=(\mathbf{A}^{-1}\mathbf{b})_i$

Protože $\mathbf {Ax} =\mathbf {b}$$\mathbf{Ax}=\mathbf{b}$ a $\det \mathbf {A} \neq 0$$\det \mathbf{A} \ne0$, je $\mathbf {x} =\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {b}$$\mathbf{x}=\mathbf{A}^{-1}\mathbf{b}$ a tedy

$x_{i}={\frac {\det \mathbf {A} _{i}}{\det \mathbf {A} }}$$x_i=\frac{\det \mathbf{A}_i}{\det \mathbf{A}}$

Související články

• Soustava lineárních rovnic
• Matice
• Determinant

Externí odkazy

• Pěstujeme lineární algebru
• Online výpočet soustav lineárních rovnic