Přeskočit na obsah

Matice soustavy

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
(přesměrováno z Matice koeficientů)

Matice soustavy, [1] též matice koeficientů, je v lineární algebře matice vytvořená z koeficientů neznámých proměnných soustavy lineárních rovnic. Matice se používá pro určení množiny řešení soustavy.

Soustavu lineárních rovnic o neznámých lze obecně zapsat ve tvaru

kde jsou neznámé a čísla jsou koeficienty soustavy. Matice soustavy je matice typu , jejíž prvky na souřadnicích a jsou koeficienty :

Soustavu rovnic pak lze vyjádřit stručněji jedinou rovnicí

,

kde je matice soustavy a je sloupcový vektor pravých stran, též nazývaný vektor konstantních členů.

Rozšířená matice soustavy

[editovat | editovat zdroj]

Rozšířená matice soustavy je přepis soustavy lineárních rovnic o neznámých

do rozšířené matice, kde k matici soustavy je přidán vektor pravých stran.

Hodnost matice

[editovat | editovat zdroj]
Podrobnější informace naleznete v článku Frobeniova věta.

Podle Frobeniovy věty nemá soustava rovnic žádné řešení, pokud hodnost rozšířené matice soustavy je větší než hodnost matice soustavy. Jsou-li naopak hodnosti obou matic stejné, má soustava alespoň jedno řešení. Řešení je jednoznačné, právě když hodnost je rovna počtu proměnných . Je-li proměnných více, pak lze volným proměnným přiřadit libovolnou hodnotu a dopočítat řešení. Odlišné volby hodnot volných proměnných vedou k odlišným řešením soustavy.

Dynamické rovnice

[editovat | editovat zdroj]

Maticová diferenční rovnice prvního řádu s konstantním členem má tvar

kde je čtvercová matice řádu a a jsou -složkové vektory. Tato soustava konverguje k rovnovážnému stavu , právě když absolutní hodnoty všech vlastních čísel matice jsou menší než 1.

Maticová diferenciální rovnice prvního řádu s konstantním členem má tvar

.

Tato soustava je stabilní, právě když všech vlastních čísel matice má záporné reálné části.

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Coefficient matrix na anglické Wikipedii.

  1. BÄRTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. Praha: Academia, 2006. 832 s. ISBN 80-200-1448-9. Kapitola Matice, s. 196. 

Literatura

[editovat | editovat zdroj]
  • BEČVÁŘ, Jindřich. Lineární algebra. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 436 s. ISBN 978-80-7378-392-1. 
  • HLADÍK, Milan. Lineární algebra (nejen) pro informatiky. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 328 s. ISBN 978-80-7378-378-5. 
  • OLŠÁK, Petr. Lineární algebra [online]. Praha: 2007 [cit. 2023-02-20]. Dostupné online. 

Související články

[editovat | editovat zdroj]