Speciální lineární grupa

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Speciální lineární grupa je pojem z teorie grup. Jde o grupu lineárních automorfizmů nějakého vektorového prostoru, které mají determinant jedna. Grupová operace je operace skládání zobrazení.

Ekvivalentně se dá definovat jako množina regulárních matic , které mají determinant jedna. Pro -rozměrný vektorový prostor nad tělesem se příslušná speciální lineární grupa značí , resp. .

Podobně se definuje speciální lineární grupa pro matice nad nějakým okruhem. Regulární matice nad okruhem obecně nejsou invertibilní, matice determinantu 1 ale ano. Pro okruh celých čísel dostáváme grupu celočíselných matic s jednotkovým determinantem .

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Speciální lineární grupy nad reálnými resp. komplexnímy čísly resp. tvoří pro jednoduchou Lieovu grupu dimenze resp. . Tyto grupy jsou nekompaktní. Maximální kompaktní podgrupa je ortogonální grupa a maximální kompaktní podgrupa je unitární grupa . Fundamentální grupa je triviální, fundamentální grupa je izomorfní pro a pro .

Grupa je izomorfní dvojitému nakrytí Lorentzovy grupy .

Pro konečné těleso jsou konečné i grupy . Odfaktorováním centra dostáváme Chevalleyho speciální lineární grupy

které jsou jednoduché kromě a .