Centrum grupy

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Centrum grupy je pojem užívaný v abstraktní algebře. Jde o podgrupu, jejíž každý člen komutuje s libovolným členem grupy. To odpovídá prvkům grupy, které mají v působení na sobě pomocí vnitřních automorfismů jednoprvkovou orbitu.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Centrem grupy myslíme množinu Tedy množinu všech prvků z , které s každým prvkem z vyhovují komutativnímu zákonu. Ve zbytku článku jej budeme značit .

Lemma[editovat | editovat zdroj]

Nechť je grupa. Pak (centrum grupy G je její normální podgrupa).

Důkaz[editovat | editovat zdroj]

Rozmyslete si, že je uzavřené na (tj. pokud , pak i ) a (připomeňme, že prvek jednotkový prvek grupy , pokud ).

Pokud je , pak . Tím jsme ukázali, že .

Zatím jsme dokázali, že je grupa, víme, že se skládá jen z prvků , takže je to podgrupa Pro dokončení důkazu ještě potřebujeme, aby byla normální.

Vezměme si libovolné a jakékoli Pak . Tedy a proto je normální podgrupa

Poznámka[editovat | editovat zdroj]

Nosič každé grupy může být zapsán takto: , kde je orbita prvku vzhledem k vnitřnímu automorfismu a je množina representantů alespoň dvouprvkových orbit grupy .

Důsledek[editovat | editovat zdroj]

Je-li konečná grupa, pak , kde je množina representantů alespoň dvouprvkových orbit grupy a je index stabilisátoru prvku .

Další Důsledek[editovat | editovat zdroj]

Nechť je grupa řádu , kde je prvočíslo a . Pak .


Věta[editovat | editovat zdroj]

je grupa řádu , kde je prvočíslo. Pak je komutativní a buď nebo

Důkaz[editovat | editovat zdroj]

Využívá pojmu centrum grupy a proto sem byla tato věta zařazena (jako pozvánka ke studiu algebry). Jinak je delší a zvídavý čtenář si jej může vyhledat v literatuře uvedené na konci článku.

Související články[editovat | editovat zdroj]

Literatura[editovat | editovat zdroj]

L.Procházka a kolektiv: Algebra, Academia, Praha 1990

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]

Skripta prof.Trlifaje z MFF UK (formát pdf)