Centrum grupy

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Centrum grupy je pojem užívaný v abstraktní algebře. Jde o podgrupu, jejíž každý člen komutuje s libovolným členem grupy. To odpovídá prvkům grupy, které mají v působení na sobě pomocí vnitřních automorfismů jednoprvkovou orbitu.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Centrem grupy \mathcal{G}=(G,\odot,^{-1},e) myslíme množinu \{h \in G|\forall g \in G:g\odot h = h\odot g\}. Tedy množinu všech prvků z G, které s každým prvkem z G vyhovují komutativnímu zákonu. Ve zbytku článku jej budeme značit Z(G).

Lemma[editovat | editovat zdroj]

Nechť \mathcal{G}=(G,\odot,^{-1},e) je grupa. Pak Z(G)\trianglelefteq G (centrum grupy G je její normální podgrupa).

Důkaz[editovat | editovat zdroj]

Rozmyslete si, že Z(G) je uzavřené na \odot (tj. pokud h, g \in Z(G), pak i h\odot g \in Z(G)) a e \in Z(G) (připomeňme, že prvek e jednotkový prvek grupy G, pokud \forall g \in G: g\odot e = e\odot g = g).

Pokud je g \in Z(G), pak g^{-1}\odot h=(h^{-1}\odot g)^{-1}=(g \odot h^{-1})^{-1}=h \odot g^{-1}. Tím jsme ukázali, že g^{-1}\in Z(G).

Zatím jsme dokázali, že Z(G) je grupa, víme, že se skládá jen z prvků G, takže je to podgrupa G. Pro dokončení důkazu ještě potřebujeme, aby byla normální.

Vezměme si libovolné g \in Z(G) a jakékoli h \in G. Pak h\odot g\odot h^{-1} = h\odot h^{-1} \odot g = e\odot g = g. Tedy h\odot g\odot h^{-1} \in Z(G) a proto je Z(G) normální podgrupa G.

Poznámka[editovat | editovat zdroj]

Nosič G každé grupy \mathcal{G}=(G,\odot,^{-1},e) může být zapsán takto: G=Z(G)\cup^{disj.}\bigcup_{h \in I}^{disj.}O_h, kde O_h je orbita prvku h \in G vzhledem k vnitřnímu automorfismu a I je množina representantů alespoň dvouprvkových orbit grupy G.

Důsledek[editovat | editovat zdroj]

Je-li \mathcal{G}=(G,\odot,^{-1},e) konečná grupa, pak |G|=|Z(G)|+\sum_{h\in I}[G:C_h], kde I je množina representantů alespoň dvouprvkových orbit grupy G a [G:C_h] je index stabilisátoru prvku h.

Další Důsledek[editovat | editovat zdroj]

Nechť \mathcal{G}=(G,\odot,^{-1},e) je grupa řádu |G|=p^n, kde p je prvočíslo a 0<n\in \mathbb{N}. Pak |Z(G)|>1.


Věta[editovat | editovat zdroj]

\mathcal{G} je grupa řádu p^2, kde p je prvočíslo. Pak \mathcal{G} je komutativní a buď \mathcal{G}\backsimeq \mathbb{Z}_{p^2} nebo \mathcal{G}\backsimeq \mathbb{Z}_p\times \mathbb{Z}_p

Důkaz[editovat | editovat zdroj]

Využívá pojmu centrum grupy a proto sem byla tato věta zařazena (jako pozvánka ke studiu algebry). Jinak je delší a zvídavý čtenář si jej může vyhledat v literatuře uvedené na konci článku.

Související články[editovat | editovat zdroj]

Literatura[editovat | editovat zdroj]

L.Procházka a kolektiv: Algebra, Academia, Praha 1990

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]

Skripta prof.Trlifaje z MFF UK (formát pdf)