Akce grupy na množině

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Akce grupy na množině je jisté zobrazení mezi množinou a grupou (definované níže) s odpovídajícími vlastnostmi. Má spojitost např. se studiem automorfismů či charakteristických podgrup.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Nechť je grupa a neprázdná množina. Zobrazení nazveme akcí grupy na množině (také působením na ) jestliže:

  1. pro všechna
  2. pro všechna (kde je neutrální prvek )

Jinak řečeno prvek působí na stejně, jako působí na .

Reprezentace permutacemi[editovat | editovat zdroj]

Nechť působí na a pro pevně zvolené označme zobrazení dané předpisem . Pak platí:

  1. pro libovolné je permutace na množině ,
  2. zobrazení dané vztahem , je homomorfismus grup.

Zobrazení se nazývá reprezentace permutacemi odpovídající dané akce grupy na množině .

Akce grupy na se nazývá triviální, resp. věrnou, jestliže , resp. reprezentace permutacemi odpovídající této akci je injektivní zobrazení.

Jádro akce a stabilizátor prvku[editovat | editovat zdroj]

Jádro akce grupy na množině se nazývá množina (přičemž tato množina je shodná s ).

Je-li pevně zvolen prvek , pak množinu nazýváme stabilizátor prvku . Platí, že jádro akce je průnikem všech stabilizátorů (symbolicky ).

Stabilizátor prvku tvoří podgrupu grupy G a jádro akce je dokonce normální podgrupu této grupy.

Orbita prvku[editovat | editovat zdroj]

Množina se nazývá orbita prvku .

Akce grupy G se nazývá tranzitivní, jestliže má právě jednu orbitu (tj. ).

Působí-li grupa G na konečné množině A, pak platí, že .

Tranzitivní akce a homogenní prostor[editovat | editovat zdroj]

Říkáme, že grupa má na tranzitivní akci, pokud pro každé existuje takové, že .

Ekvivalentně, akce je tranzitivní pokud pro jedno pevné a každé existuje takové, že a má tedy jenom jednu orbitu.

Pokud má na množině tranzitivní akci, můžeme množinu reprezentovat jako homogenní prostor

kde je stabilizátor jednoho prvku a je množina levých rozkladových tříd. Identifikace je a je jednoznačná,neboť

  • Díky tranzitivní akci existuje pro každé příslušné
  • Pokud tak , tedy a .

Zobrazení je tedy bijekce.

Reprezentace množiny jako levých rozkladových tříd se nazývá v geometrii homogenní prostor a tvoří základ tzv. Kleinovy geometrie. Například Eukleidovské geometrii jsou vlastní Eukleidova grupa Euc(n) všech rotací, zrcadlení a posunutí. Tato grupa má na Eukleidově prostoru tranzitivní akci a stabilizátor pevně daného bodu je grupa O(n) všech otočení a zrcadlení takových které bod zachovávají. Eukleidův prostor dimenze tedy můžeme reprezentovat jako

Odkazy[editovat | editovat zdroj]

Související články[editovat | editovat zdroj]