Podgrupa

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

V matematice se pojmem podgrupa grupy G = (G,*) označuje grupa H = (H, *H), je-li H podmnožinou G a *H je podmnožinou operace *.

V následujícím textu se místo zápisu a*b používá zkrácené ab.

Základní vlastnosti podgrup[editovat | editovat zdroj]

  • Podgrupa je grupa
  • H je podgrupa grupy G, právě když je neprázdná a je uzavřená na operaci * (to znamená, že pokud a, bH, pak abH) a na inverzi (tzn. jestliže aH, pak a−1H)
  • Neutrální prvek v G se rovná neutrálnímu prvku v H
  • Inverzní prvek v G se rovná inverznímu prvku v H

Zvláštní případy podgrup[editovat | editovat zdroj]

  • Každá grupa obsahuje dvě tzv. nevlastní podgrupy (též triviální podgrupy), sebe samu a podgrupu obsahující pouze neutrální prvek (ta je vlastně zároveň triviální grupou).[1] Ostatní podgrupy označujeme jako vlastní (nebo netriviální).
  • Je-li S podmnožina G, existuje nejmenší podgrupa grupy G obsahující S. Tato podgrupa se značí <S> a jmenuje se podgrupa generovaná množinou S (v případě, že S je jednoprvková, píšeme podgrupu jako <a> místo <{a}>).
  • Zvláště významné jsou normální podgrupy splňující \forall g \in G \quad g \cdot H \equiv \{g \cdot h, h \in H \} = \{h \cdot g, h \in H \} \equiv H \cdot g

Reference[editovat | editovat zdroj]

  1. BLAŽEK, Jaroslav; CALDA, Emil, aj. Algebra a teoretická aritmetika, I. díl. [s.l.] : Státní pedagogické nakladatelství, 1983. S. 90.