Fundamentální grupa

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Dvě křivky na toru, z nichž ani jednu nelze stáhnout do bodu. Fundamentální grupa popisuje množinu všech různých nestažitelných křivek.

Fundamentální grupa je pojem z matematiky, přesněji z algebraické topologie. Popisuje křivky, které se v daném prostoru nedají stáhnout do bodu.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Nechť X je topologický prostor a x je prvkem X. Zaveďme prostor C oblouků začínajících v x předpisem

C=\{s: [0,1] \to X, s \mbox{ je spojité a } s(0)=s(1)=x\}.

Pro každé a, b z C definujme element a+b z C formulí (a + b)(t):=a(2t) pro  t\in [0,1/2] a (a+b)(t)=b(2t-l) pro t\in [1/2,1] a element a^{-1} z C předpisem a^{-1}(t)=a(1-t) pro t \in [0,1]. Nakonec definujme element e(t):=x pro každé t \in [0,1]. Snadno lze ověřit, že (C,+, ^{-1}, e) je grupa. Definujme na C relaci ekvivalence \simeq. Položíme a \simeq  b, právě tehdy když oblouk a je homotopický oblouku b. Definujme \pi_1(X,x):=C/\simeq. Dá se ukázat, že grupa C určuje přirozeně strukturu grupy na \pi_1(X,x). Tato se nazývá první homotopická grupa topologického prostoru X, respektive fundamentální grupa X .

Pokud X je obloukově souvislý, potom \pi_1(X, x_0) \simeq \pi_1(X, x_1) pro každé x_0, x_1 z X, tj. první homotopická grupa pro obloukově souvislý topologický prostor je až na izomorfizmus nezávislá na bodu x. Tato grupa se proto někdy nazývá jenom fundamentální grupa prostoru, \pi_1(X).

Příklady[editovat | editovat zdroj]

Fundamentální grupa Euklidova prostoru je triviální, \pi_1(R^n, 0) \simeq 0, neboť R^n je kontraktibilní.

Fundamentální grupa Euklidova prostoru bez bodu je izomorfní grupě celých čísel, \pi_1(R^2-\{0\}, 1) \simeq \mathbb{Z}. Podobně fundamentální grupa kružnice \pi_1(S^1)\simeq \mathbb{Z}.

Fundamentální grupa součinu topologických prostorů je izomorfní součinu příslušných fundamentálních grup. Například pro torus je \pi_1(T^2,m) \simeq\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}, kde T^2 je torus a m jeho nějaký bod. Generátory (1,0)\in \mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z} a (0,1) \in \mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z} reprezentují (třídu homotopie) velké a malé kružnice toru T^2.

Fundamentální grupa Kleinovy láhve je izomorfní \mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}_2 Prvek (0,1) tedy odpovídá nestažitelné uzavřené křivce, která když se objede dvakrát, stane se stažitelnou.

Fundamentální grupa číslice "8" (chápané jako křivky v rovině) je volná grupa o dvou generátorech.

Tvrzení[editovat | editovat zdroj]

  • Libovolná grupa je izomorfní fundamentální grupě nějakého topologického prostoru.
  • Fundamentální grupa součinu prostorů je izomorfní součinu příslušných fundamentálních grup.
  • Abelianizace fundamentální grupy je první homologická grupa.
  • Pokud má prostor univerzální nakrytí, pak podgrupy fundamentální grupy odpovídají jeho nakrytím a normální podgrupy odpovídají jeho normálním nakrytím.

Aplikace[editovat | editovat zdroj]

Základní věta algebry se dá lehce dokázat pomocí tvrzení, že fundamentální grupa kružnice je izomorfní \mathbb{Z}. Kdyby totiž polynom p stupně k neměl kořen, zobrazení p/|p| z dostatečně velké kružnice K_1 do jednotkové kružnice S^1 by objelo jednotkovou kružnici k krát. Tato křivka tedy odpovídá prvku k ve fundamentální grupě S^1. V prostoru \mathbb{C} je K_1 stažitelná do bodu, tudíž k=0 a polynom p je konstantní.

Podobně Brouwerova věta o pevném bodu je v případě dvourozměrné koule jednoduchá aplikace netriviálnosti fundamentální grupy kružnice.

V případě kompaktních variet fundamentální grupa úzce souvisí s existencí vektorového pole, kterého rotace je nulová, ale které není gradientem žádného potenciálu.

U reprezentací Lieovy grupy G souvisí fundamentální grupa s existencí reprezentací její Lieovy algebry, které neodpovídají žádné reprezentaci Lieovy grupy G.

V teorii uzlů se často studuje fundamentální grupa doplňku uzlů v \mathbb{R}^3 (anebo jiném prostoru), která popisuje jisté invariantní vlastnosti uzlu.

Motivace a zobecnění[editovat | editovat zdroj]

Pojem fundamentální grupy vznikl z potřeb analýzy funkcí komplexní proměnné, zejména teorie integrálů na Riemannových plochách, resp. tzv. algebraických mnohoznačných funkcí v souvislosti s výzkumem tzv. matice period mnohoznačné algebraické funkce. V současnosti je pojem užíván především v algebraické topologii, algebraické geometrii aj. oblastech matematiky, jakou je např. teorie uzlů.

Pojem fundamentální grupy je zobecněn pojmem homotopického grupoidu[zdroj?]. Fundamentální grupa je pouze první z řady homotopických grup. Vyšší homotopické grupy zavedl matematik Eduard Čech[1]

Literatura[editovat | editovat zdroj]

Reference[editovat | editovat zdroj]

  1. Herbert Schroeder, On the topology of the group of invertible elements, řádek 16 zdola na straně 3, online