Fundamentální grupa

Fundamentální grupa je pojem z matematiky, přesněji z algebraické topologie. Popisuje křivky, které se v daném prostoru nedají stáhnout do bodu.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Nechť $X$ je topologický prostor a $x$ je prvkem $X$ . Zaveďme prostor $C$ oblouků začínajících v $x$ předpisem

C=\{s:[0,1]\to X,s{\mbox{ je spojité a }}s(0)=s(1)=x\}

.

Pro každé $a$ , $b$ z $C$ definujme element $a+b$ z $C$ formulí $(a+b)(t):=a(2t)$ pro $t\in [0,1/2]$ a $(a+b)(t)=b(2t-1)$ pro $t\in [1/2,1]$ a element $a^{-1}$ z $C$ předpisem $a^{-1}(t)=a(1-t)$ pro $t\in [0,1]$ . Nakonec definujme element $e(t):=x$ pro každé $t\in [0,1]$ . Snadno lze ověřit, že $(C,+,^{-1},e)$ je grupa. Definujme na C relaci ekvivalence $\simeq$ . Položíme $a\simeq b$ , právě tehdy když oblouk $a$ je homotopický oblouku $b$ . Definujme $\pi _{1}(X,x):=C/\simeq$ . Dá se ukázat, že grupa C určuje přirozeně strukturu grupy na $\pi _{1}(X,x)$ . Tato se nazývá první homotopická grupa topologického prostoru $X$ , respektive fundamentální grupa X .

Pokud $X$ je obloukově souvislý, potom $\pi _{1}(X,x_{0})\simeq \pi _{1}(X,x_{1})$ pro každé $x_{0},$ $x_{1}$ z $X$ , tj. první homotopická grupa pro obloukově souvislý topologický prostor je až na izomorfizmus nezávislá na bodu $x$ . Tato grupa se proto někdy nazývá jenom fundamentální grupa prostoru, $\pi _{1}(X)$ .

Příklady[editovat | editovat zdroj]

Fundamentální grupa Euklidova prostoru je triviální, $\pi _{1}(R^{n},0)\simeq 0$ , neboť $R^{n}$ je kontraktibilní.

Fundamentální grupa Euklidova prostoru bez bodu je izomorfní grupě celých čísel, $\pi _{1}(R^{2}-\{0\},1)\simeq \mathbb {Z}$ . Podobně fundamentální grupa kružnice $\pi _{1}(S^{1})\simeq \mathbb {Z}$ .

Fundamentální grupa součinu topologických prostorů je izomorfní součinu příslušných fundamentálních grup. Například pro torus je $\pi _{1}(T^{2},m)\simeq \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}$ , kde $T^{2}$ je torus a $m$ jeho nějaký bod. Generátory $(1,0)\in \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}$ a $(0,1)\in \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}$ reprezentují (třídu homotopie) velké a malé kružnice toru $T^{2}$ .

Fundamentální grupa Kleinovy láhve je izomorfní $\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} _{2}$ Prvek (0,1) tedy odpovídá nestažitelné uzavřené křivce, která když se objede dvakrát, stane se stažitelnou.

Fundamentální grupa číslice "8" (chápané jako křivky v rovině) je volná grupa o dvou generátorech.

Tvrzení[editovat | editovat zdroj]

Libovolná grupa je izomorfní fundamentální grupě nějakého topologického prostoru.
Fundamentální grupa součinu prostorů je izomorfní součinu příslušných fundamentálních grup.
Abelianizace fundamentální grupy je první homologická grupa.
Pokud má prostor univerzální nakrytí, pak podgrupy fundamentální grupy odpovídají jeho nakrytím a normální podgrupy odpovídají jeho normálním nakrytím.

Aplikace[editovat | editovat zdroj]

Základní věta algebry se dá lehce dokázat pomocí tvrzení, že fundamentální grupa kružnice je izomorfní $\mathbb {Z}$ . Kdyby totiž polynom p stupně k neměl kořen, zobrazení $p/|p|$ z dostatečně velké kružnice $K_{1}$ do jednotkové kružnice $S^{1}$ by objelo jednotkovou kružnici k krát. Tato křivka tedy odpovídá prvku k ve fundamentální grupě $S^{1}$ . V prostoru $\mathbb {C}$ je $K_{1}$ stažitelná do bodu, tudíž k=0 a polynom p je konstantní.

Podobně Brouwerova věta o pevném bodu je v případě dvourozměrné koule jednoduchá aplikace netriviálnosti fundamentální grupy kružnice.

V případě kompaktních variet fundamentální grupa úzce souvisí s existencí vektorového pole, kterého rotace je nulová, ale které není gradientem žádného potenciálu.

U reprezentací Lieovy grupy G souvisí fundamentální grupa s existencí reprezentací její Lieovy algebry, které neodpovídají žádné reprezentaci Lieovy grupy G.

V teorii uzlů se často studuje fundamentální grupa doplňku uzlů v $\mathbb {R} ^{3}$ (anebo jiném prostoru), která popisuje jisté invariantní vlastnosti uzlu.

Motivace a zobecnění[editovat | editovat zdroj]

Pojem fundamentální grupy vznikl z potřeb analýzy funkcí komplexní proměnné, zejména teorie integrálů na Riemannových plochách, resp. tzv. algebraických mnohoznačných funkcí v souvislosti s výzkumem tzv. matice period mnohoznačné algebraické funkce. V současnosti je pojem užíván především v algebraické topologii, algebraické geometrii aj. oblastech matematiky, jakou je např. teorie uzlů.

Pojem fundamentální grupy je zobecněn pojmem homotopického grupoidu^[zdroj?]. Fundamentální grupa je pouze první z řady homotopických grup. Vyšší homotopické grupy zavedl matematik Eduard Čech^[1]