Fundamentální grupa

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Dvě křivky na toru, z nichž ani jednu nelze stáhnout do bodu. Fundamentální grupa popisuje množinu všech různých nestažitelných křivek.

Fundamentální grupa je pojem z matematiky, přesněji z algebraické topologie. Popisuje křivky, které se v daném prostoru nedají stáhnout do bodu.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Nechť je topologický prostor a je prvkem . Zaveďme prostor oblouků začínajících v předpisem

.

Pro každé , z definujme element z formulí pro a pro a element z předpisem pro . Nakonec definujme element pro každé . Snadno lze ověřit, že je grupa. Definujme na C relaci ekvivalence . Položíme , právě tehdy když oblouk je homotopický oblouku . Definujme . Dá se ukázat, že grupa C určuje přirozeně strukturu grupy na . Tato se nazývá první homotopická grupa topologického prostoru , respektive fundamentální grupa X .

Pokud je obloukově souvislý, potom pro každé z , tj. první homotopická grupa pro obloukově souvislý topologický prostor je až na izomorfizmus nezávislá na bodu . Tato grupa se proto někdy nazývá jenom fundamentální grupa prostoru, .

Příklady[editovat | editovat zdroj]

Fundamentální grupa Euklidova prostoru je triviální, , neboť je kontraktibilní.

Fundamentální grupa Euklidova prostoru bez bodu je izomorfní grupě celých čísel, . Podobně fundamentální grupa kružnice .

Fundamentální grupa součinu topologických prostorů je izomorfní součinu příslušných fundamentálních grup. Například pro torus je , kde je torus a jeho nějaký bod. Generátory a reprezentují (třídu homotopie) velké a malé kružnice toru .

Fundamentální grupa Kleinovy láhve je izomorfní Prvek (0,1) tedy odpovídá nestažitelné uzavřené křivce, která když se objede dvakrát, stane se stažitelnou.

Fundamentální grupa číslice "8" (chápané jako křivky v rovině) je volná grupa o dvou generátorech.

Tvrzení[editovat | editovat zdroj]

  • Libovolná grupa je izomorfní fundamentální grupě nějakého topologického prostoru.
  • Fundamentální grupa součinu prostorů je izomorfní součinu příslušných fundamentálních grup.
  • Abelianizace fundamentální grupy je první homologická grupa.
  • Pokud má prostor univerzální nakrytí, pak podgrupy fundamentální grupy odpovídají jeho nakrytím a normální podgrupy odpovídají jeho normálním nakrytím.

Aplikace[editovat | editovat zdroj]

Základní věta algebry se dá lehce dokázat pomocí tvrzení, že fundamentální grupa kružnice je izomorfní . Kdyby totiž polynom p stupně k neměl kořen, zobrazení z dostatečně velké kružnice do jednotkové kružnice by objelo jednotkovou kružnici k krát. Tato křivka tedy odpovídá prvku k ve fundamentální grupě . V prostoru je stažitelná do bodu, tudíž k=0 a polynom p je konstantní.

Podobně Brouwerova věta o pevném bodu je v případě dvourozměrné koule jednoduchá aplikace netriviálnosti fundamentální grupy kružnice.

V případě kompaktních variet fundamentální grupa úzce souvisí s existencí vektorového pole, kterého rotace je nulová, ale které není gradientem žádného potenciálu.

U reprezentací Lieovy grupy G souvisí fundamentální grupa s existencí reprezentací její Lieovy algebry, které neodpovídají žádné reprezentaci Lieovy grupy G.

V teorii uzlů se často studuje fundamentální grupa doplňku uzlů v (anebo jiném prostoru), která popisuje jisté invariantní vlastnosti uzlu.

Motivace a zobecnění[editovat | editovat zdroj]

Pojem fundamentální grupy vznikl z potřeb analýzy funkcí komplexní proměnné, zejména teorie integrálů na Riemannových plochách, resp. tzv. algebraických mnohoznačných funkcí v souvislosti s výzkumem tzv. matice period mnohoznačné algebraické funkce. V současnosti je pojem užíván především v algebraické topologii, algebraické geometrii aj. oblastech matematiky, jakou je např. teorie uzlů.

Pojem fundamentální grupy je zobecněn pojmem homotopického grupoidu[zdroj?]. Fundamentální grupa je pouze první z řady homotopických grup. Vyšší homotopické grupy zavedl matematik Eduard Čech[1]

Literatura[editovat | editovat zdroj]

Reference[editovat | editovat zdroj]

  1. Herbert Schroeder, On the topology of the group of invertible elements, řádek 16 zdola na straně 3, online