Unitární grupa

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Unitární grupa je v matematice množina všech unitárních transformací nějakého Hilbertova prostoru spolu s operací skládání. V konečněrozměrném případě se dá reprezentovat jako množina všech unitárních matic dimenze n spolu s násobením matic. Tato grupa se značí .

Podobně se definuje speciální unitární grupa SU(n) jako množina unitárních matic s determinantem rovným jedné.

Vnoření unitárních matic do prostoru všech matic definuje na unitární matici strukturu reálné hladké variety. Jedná se tedy o reálnou Lieovu grupu.

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Unitární grupa je kompaktní a souvislá Lieova grupa (ačkoliv se skládá s komplexních matic, jedná se pouze o reálnou Lieovu grupu). Její dimenze je . Fundamentální grupu má izomorfní . Komplexifikace této grupy je celá obecná lineární grupa GL(n,C).

Jako grupa je U(n) izomorfní a U(1) je izomorfní jednotkovým komplexním číslům s operací násobení. Grupa SU(n) je jednoduchá pro a je také jednoduše souvislá.

Grupa je izomorfní ortogonální grupě .

Grupa je topologická sféra dimenze 3 a jako grupa je izomorfní jednotkovým kvaternionům. Existuje surjektivní homomorfizmus

takový, že každý prvek SO(3) má právě dva vzory, které se liší jenom znaménkem.