Okruh (algebra)

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Okruh je v matematice algebraická struktura s dvěma binárními operacemi běžně nazývanými sčítání a násobení. Přitom sčítání splňuje axiomy Abelových grup a násobení axiomy monoidu. Typickým příkladem okruhu je množina celých čísel s běžně známými operacemi sčítání a násobení.

Definice okruhu[editovat | editovat zdroj]

Strukturu R s nosičem R a dvěma binárními operacemi + (sčítání) a · (násobení) na R nazýváme okruh, platí-li pro všechny prvky R x, y, z následující axiomy:

  1. Uzavřenost obou operací: x + y i x · y jsou prvky R.
  2. Asociativita sčítání i násobení: (x + y) + z = x + (y + z), (x · y) · z = x · (y · z).
  3. Existence nulového prvku 0.
  4. Existence opačného prvku: pro každé x z R existuje y z R tak, že x + y = 0 = y + x, značíme y = −x.
  5. Komutativita sčítání: x + y = y + x.
  6. (Oboustranná) distributivita násobení ke sčítání: x · ( y + z) = (x · y) + (x · z), ( y + z) · x = ( y · x) + (z · x).

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Množina R s operací +, tj. (R, +), je tedy Abelova grupa. Množina R s operací ·, tj. (R, ·), je tedy pologrupa.

Pokud navíc existuje jednotkový prvek (neutrální při násobení), jedná se o unitární okruh (nebo také okruh s jednotkovým prvkem). Pokud navíc neexistují tzv. dělitelé nuly, jedná se o tzv. obor. Pokud je obor navíc komutativní, jedná se o obor integrity.

Pokud existují v unitárním okruhu převrácené prvky, nazýváme takový okruh těleso. Jeho nenulové prvky tvoří tedy s operací násobení grupu.

Příklady okruhů[editovat | editovat zdroj]

Podokruh[editovat | editovat zdroj]

S je neprázdná podmnožina okruhu (R, +, ·) je podokruh (S, +, ·) okruhu R, právě když pro všechna a, b z S do něj patří a-b i a·b.

Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]