Elementární matice

Elementární matice je v matematice taková matice, která se odlišuje od jednotkové matice jednou elementární řádkovou operací. Elementární matice generují obecnou lineární grupu GL_n(R), pokud R je komutativní těleso. Levé násobení (násobení zleva) elementární maticí reprezentuje elementární řádkové operace, zatímco pravé násobení (zprava) reprezentuje elementární sloupcové operace.

Základní řádkové operace se používají v Gaussově eliminační metodě pro převod matice na horní trojúhelníkovou matici. Také se používají při Gaussově eliminační metodě pro další převod matice na redukovanou horní trojúhelníkovou matici.

Základní řádkové operace

Existují tři typy elementárních matic, které odpovídají třem typům řádkových operací (případně sloupcovým operacím):

Prohození řádků

Řádek matice může být prohozen s jiným řádkem.

$R_{i}\leftrightarrow R_{j}$

Násobení řádku

Každý prvek v řádku se znásobí nenulovou konstantou.

$kR_{i}\rightarrow R_{i},\ {\mbox{kde }}k\neq 0$

Řádek sčítání

Řádek může být nahrazen součtem tohoto řádku s násobkem jiného řádku.

$R_{i}+kR_{j}\rightarrow R_{i},{\mbox{kde }}i\neq j$

Pokud E je elementární matice, protože popsaný níže na aplikovat elementární řádkové operace na matice A, jeden násobí A elementární maticí zleva, EA. Elementární matici pro jakoukoli řádkovou operaci lze získat provedením operace na jednotkovou matici. Tento fakt lze chápat jako instanci Jonedova lemmatu aplikovaného na kategorii matic.

Prohození řádků

Související informace naleznete také v článku Permutační matice.

Prvním typem řádkové operace na matici A je prohození všech prvků řádku i matice s jejich protějšky v řádku j. Odpovídající elementární matici získáme z jednotkové matice prohozením řádku i a řádku j.

$T_{i,j}={\begin{pmatrix}1&&&&&&\\&\ddots &&&&&\\&&0&&1&&\\&&&\ddots &&&\\&&1&&0&&\\&&&&&\ddots &\\&&&&&&1\end{pmatrix}}$

Matice T_ijA tedy dostaneme vzájemným prohozením řádků i a j matice A.

Vlastnosti

• Inverze této matice je tatáž matice: T_ij⁻¹ = T_ij.
• Protože determinant jednotkové matice je roven jedné, det(T_ij) = −1. Z toho plyne, že pro jakoukoli čtvercovou matici A (správné velikosti), máme det(T_ijA) = −det(A).

Násobení řádku

Dalším typem řádkové operace na matici A je znásobení všech prvků v řádku i číslem m, kde m je nenulový skalár (obvykle reálné číslo). Odpovídající elementární matice je diagonální matice, jejíž všechny prvky na diagonále jsou jedničky, kromě pozice i, kde je m.

$D_{i}(m)={\begin{pmatrix}1&&&&&&\\&\ddots &&&&&\\&&1&&&&\\&&&m&&&\\&&&&1&&\\&&&&&\ddots &\\&&&&&&1\end{pmatrix}}$

Matici D_i(m)A tedy vyrobíme z A vynásobením řádku i číslem m.

Vlastnosti

• Pro inverzi této matice platí: D_i(m)⁻¹ = D_i(1/m).
• Matice a její inverze jsou diagonální matice.
• det(D_i(m)) = m. Proto pro čtvercovou matici A (správné velikosti), máme det(D_i(m)A) = m det(A).

Sčítání řádků

Posledním typem řádkové operace na matici A je přičtení řádku j znásobeného skalární hodnotou m k řádku i. Odpovídající elementární matici vytvoříme z jednotkové matice doplněním hodnoty m na pozici (i, j).

$L_{ij}(m)={\begin{pmatrix}1&&&&&&\\&\ddots &&&&&\\&&1&&&&\\&&&\ddots &&&\\&&m&&1&&\\&&&&&\ddots &\\&&&&&&1\end{pmatrix}}$

Matici L_ij(m)A tedy vytvoříme z A přičtením m násobku řádku j k řádku i. Matici A L_ij(m) vytvoříme z A přičtením m násobku sloupce i ke sloupci j.

Vlastnosti

• Tyto transformace jsou určitým druhem zkosení (anglicky transvections).
• Inverzi této matice popisuje vztah L_ij(m)⁻¹ = L_ij(−m).
• Matice a její inverze jsou trojúhelníkové matice.
• det(L_ij(m)) = 1. Proto pro čtvercovou matici A (správné velikosti) máme det(L_ij(m)A) = det(A).
• Transformace sčítání řádků vyhovuje Steinbergovým relacím.

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Elementary matrix na anglické Wikipedii.

• AXLER, Sheldon Jay. Linear Algebra Done Right. 2. vyd. [s.l.]: Springer-Verlag, 1997. ISBN 0-387-98259-0. 
• LAY, David C. Linear Algebra and Its Applications. 3. vyd. [s.l.]: Addison Wesley, August 22, 2005. Dostupné online. ISBN 978-0-321-28713-7. 
• MEYER, Carl D. Matrix Analysis and Applied Linear Algebra. [s.l.]: Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), February 15, 2001. Dostupné v archivu pořízeném z originálu dne 2009-10-31. ISBN 978-0-89871-454-8.  Archivováno 31. 10. 2009 na Wayback Machine.
• POOLE, David. Linear Algebra: A Modern Introduction. 2. vyd. [s.l.]: Brooks/Cole, 2006. ISBN 0-534-99845-3. 
• ANTON, Howard, 1994. Elementary Linear Algebra (Applications Version). 9. vyd. [s.l.]: Wiley International, 2005. Dostupné online. 
• LEON, Steven J., 2006. Linear Algebra With Applications. 7. vyd. [s.l.]: Pearson Prentice Hall. Dostupné online. 
• STRANG, Gilbert, 2016. Introduction to Linear Algebra. 5. vyd. [s.l.]: Wellesley-Cambridge Press. ISBN 978-09802327-7-6. 

Související informace naleznete také v článku Lineární algebra#Literatura.

Související články

• Gaussova eliminační metoda
• Lineární algebra
• Soustava lineárních rovnic
• Matice
• LU rozklad
• Frobeniova matice