Jádro matice

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání

Definice: Množina všech řešení homogenní soustavy lineárních rovnic Ax=o se nazývá jádro matice A nebo také nulový prostor matice A. Označujeme ji Ker A.

Pozorování 1: Jsou-li u a w dvě řešení soustavy lineárních rovnic Ax = b, pak w - u je řešením soustavy Ax = o.

Pozorování 2: Je-li u řešením soustavy Ax = b a v řešení příslušně homogení soustavy Ax = o, pak u + v je také řešením soustavy Ax = b.

Věta: Je-li u jedno pevně zvolené partikulární řešení soustavy lineárních rovnic Ax=b nad tělesem T, pak se množina všech řešení této soustavy rovná {u+v : v ∈ Ker A} = u + Ker A.

Důkaz: Je-li w řešení soustavy Ax=b, pak (w - u) ∈ Ker A (podle pozorování 1) a tedy w = u + (w - u) ∈ {u + v : v ∈ Ker A}. Naopak pro libovolné v ∈ Ker A je u + v řešením soustavy Ax=b (podle pozorování 2).