LU rozklad

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Jump to navigation Jump to search

LU rozklad matice je způsob, jak zapsat tuto matici jako součin dvou dalších matic, z nichž jedna (L z anglického lower) je v dolním trojúhelníkovém tvaru a má na celé hlavní diagonále číslo jedna a druhá (U z anglického upper) je v horním trojúhelníkovém tvaru a na hlavní diagonále má pouze nenulové prvky.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Mějme regulární čtvercovou matici nad libovolným tělesem, u které není třeba při Gaussově eliminaci prohazovat řádky. Pak existují také regulární matice a , jsou určeny jednoznačně a platí pro ně následující tvrzení

  • je dolní trojúhelníková matice s jedničkami na celé hlavní diagonále.
  • je horní trojúhelníková matice s nenulovými prvky na hlavní diagonále.

Tomuto součinu říkáme LU rozklad matice . [1]

Pokud nemáme matici takovou u které není třeba prohazovat sloupce, pak lze využít rozklad , kde je permutační matice (taková, která vznikla z jednotkové postupnou záměnou sloupců). Taková matice nejdříve prohází sloupce matice a zbytek rozkladu zůstane stejný. [2]

Využití[editovat | editovat zdroj]

Během výpočtu soustavy může nastat situace, kdy se podařila najít dolní trojúhelníková matice i horní trojúhelníková matice tak, že .

Potom lze nahradit v této soustavě za a označit . Z toho plyne, že a .

To je užitečně, pokud máme sérii výpočtů, ve které se pravá strana v jednotlivých případech mění, ale levá strana zůstává stejná. Toto řešení pomocí LU rozkladu je časově výhodnější než opakované počítání stejné soustavy.[3]

Příklad[editovat | editovat zdroj]

.[4]

Odkazy[editovat | editovat zdroj]

Reference[editovat | editovat zdroj]

  1. http://msekce.karlin.mff.cuni.cz/~sir/la/LinAlg/skripta.pdf
  2. http://homel.vsb.cz/~ber95/LAIT/Cviceni/lacv5.pdf
  3. http://petr.olsak.net/bilin/lurozklad.pdf
  4. http://ivankuckir.blogspot.cz/2010/09/lu-rozklad.html

Související články[editovat | editovat zdroj]