Druhá odmocnina

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání
Graf funkce druhá odmocnina f(x) = √x tvoří jedna větev paraboly souměrné podle osy x.

Druhá odmocnina je speciálním typem obecné odmocniny. Jde o nejběžnější typ odmocniny, proto se často označuje pouze jako odmocnina. Pro libovolný matematický objekt s definovanou operací umocňování (číslo, matici, funkci...) je druhá odmocnina z , označovaná jako , definována jako objekt , pro který platí .

Druhá odmocnina má rovněž geometrický význam. Druhá odmocnina z čísla (značí se jako) je délka strany čtverce o obsahu . Objev druhé odmocniny vedl ve starověku k objevu iracionálních čísel.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Obor reálných čísel[editovat | editovat zdroj]

Druhá odmocnina je definována pouze pro nezáporná reálná čísla jako nezáporné reálné číslo , pro které platí, že . Druhou odmocninu značíme jako .

Jedná se o inverzní funkci k druhé mocnině v nezáporných číslech; druhá mocnina není mimo nezáporná čísla prostou funkcí, proto ji nelze invertovat na celém jejím definičním oboru. Přestože tak například vedle platí také , druhá odmocnina je podle definice vždy nezáporné číslo, proto . Takto ovšem nelze omezit množinu kořenů rovnice obsahující druhou mocninu – rovnice má pro dva kořeny , např. vztahu tak vyhovují i .

Obor komplexních čísel[editovat | editovat zdroj]

Druhá odmocnina komplexního čísla je rovna

.

V komplexních číslech je definována odmocnina i pro záporná reálná čísla – zjednodušením obecného vzorce lze získat . Takto lze získat komplexní řešení kvadratické rovnice se záporným diskriminantem. Pro obecné reálné číslo lze vzorec zjednodušit na a pro ryze imaginární číslo , na .

Odvození vzorce pro komplexní čísla[editovat | editovat zdroj]

Vyjádříme pomocí dvou nezáporných čísel jako . Definiční vztah roznásobíme na , rovnici rozdělíme na reálnou a imaginární část:

a řešíme vzniklou soustavu dvou rovnic v reálných číslech.

Vztahy mezi druhými odmocninami nezáporných čísel[editovat | editovat zdroj]

Pokud a, b jsou nezáporná čísla, pak platí:

Hodnoty pro přirozená čísla[editovat | editovat zdroj]

Hodnotou druhé odmocniny z čísel 1, 4, 9, 16... je přirozené číslo. Ve všech ostatních případech je hodnotou číslo iracionální.

1 2,449 3,317 4
1,414 2,646 3,464 4,123
1,732 2,828 3,606 4,243
2 3 3,742 4,359
2,236 3,162 3,873 4,472

Odhad[editovat | editovat zdroj]

Pro racionální číslo větší než 1 a menší než 100 odhadujeme nejbližší nižší a vyšší odmocninu celého čísla.

2 < < 3 (22 = 4, 32 = 9)

Číslo větší než 100 rozdělíme do skupin po dvou číslicích od základního místa (od řádu jednotek včetně). Počet skupin určuje počet číslic výsledku. První skupina zleva nemusí být úplná a odhaduje se postupem pro čísla menší než 100 s následným doplněním nul do počtu zbývajících skupin.

200 < < 300 (skupiny 5'27'44 = . 100)

Obdobně postupujeme s kladnými čísly menšími než 1, kdy je shodné dělení do skupin s počtem číslic výsledku za desetinnou čárkou. Pro tato čísla se případná neúplná skupina první zprava doplní připsáním nuly zprava.

0,06 < < 0,07 (skupiny 0,00'40' =  : 100)

Iterativní metody výpočtu[editovat | editovat zdroj]

Výpočet odmocniny čísla odmocňováním dvěma vychází beze zbytku či se zbytkem. Pokud není druhá odmocnina celočíselná, lze u zbytku zvolit přesnost pomocí počtu desetinných míst výsledku. Následují příklady ilustrují výpočet pro oba případy.

Beze zbytku[editovat | editovat zdroj]

a) od základního místa se rozdělí číslo na skupiny po dvou číslicích. Případná neúplná skupina zprava doplní připsáním nuly. Počet skupin určí počet číslic výsledku od základního místa.
(výsledek bude desetinné číslo od řádu desítek)
b) odhadneme nejbližší nižší odmocninu celého čísla z první skupiny zleva. ( = 2 a v řádu desítek zapíšeme do výsledku ⇒ 2.,.)
c) od první skupiny odmocněnce odečteme druhou mocninu číselného výsledku bez ohledu na desetinnou čárku výsledku z předchozího kroku (b). Přidáme další skupinu. (6 - 2 . 2 = 2; tedy 2'45 ⇒ 245 zbytek)
d) z čísla z kroku (c) oddělíme poslední číslici a vzniklé číslo dělíme dvojnásobkem neúplného výsledku (b) (24 : (2 . 2) ≈ 6). Výsledný podíl zapíšeme do výsledku v řádu jednotek, jen pokud rozdíl zbytku je kladné číslo. Jinak musíme výsledek snížit o jedna a znova vypočítat rozdíl zbytku. Rozdíl zbytku se vypočte ze zbytku (c) zmenšeného o složeninu dvojnásobku neúplného výsledku s výsledným podílem vynásobený výsledným podílem. Tedy 245 - (4'6 . 6) < 0 musí se výsledný podíl 6 snížit o jedna na 5; pak 245 - (4'5 . 5) = 20 a 5 zapíšeme do výsledku ⇒ 25, jako zbytek se zapíše 20)
e) opakuje se krok (c), který dá výsledkem z kroku (d), dokud není rozdíl nulový po zaokrouhlení na předem zvolený počet desetinných míst. Přidání další skupiny k rozdílu 20'16 ⇒ 201 : (2 . 25) ≈ 4; tedy 2016 - (50'4 . 4) = 0 (výpočet končí, zbytek roven nule) a 4 zapíšeme do výsledku ⇒ 25,4

Zkouška: 25,42 = 645,16

Se zbytkem, např. odmocnina s přesností na tři desetinná místa[editovat | editovat zdroj]

a) (výsledek bude desetinné číslo od řádu jednotek)
b) = 2 a v řádu jednotek zapíšeme do výsledku ⇒ 2,...)
c) 7 - 22 = 3; tedy 3'00 ⇒ 300
d) 30 : (2 . 2) ≈ 7; tedy 300 - (4'7 . 7) < 0 musí se podíl 7 snížit o jedna na 6; pak 300 - (4'6 . 6) = 24 a 6 zapíšeme do výsledku ⇒ 2,6..
e1) přidání další skupiny k rozdílu 24'00 ⇒ 240 : (2 . 26) ≈ 4; tedy 2400 - (52'4 . 4) = 304 a 4 zapíšeme do výsledku ⇒ 2,64.
e2) přidání další skupiny k rozdílu 304'00 ⇒ 3040 : (2 . 264) ≈ 5; tedy 30400 - (528'5 . 5) = 3975 (zbytek) a 5 zapíšeme do výsledku ⇒ 2,645

Zkouška: 2,6452 = 6,996025 + 0,003975 = 7. Poznámka: zopakováním postupu (provede se další iterace) dostaneme výsledek en), který je zpřesněním výsledku předchozí iterace en-1).

Odkazy[editovat | editovat zdroj]

Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]