Druhá odmocnina

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Graf funkce druhá odmocnina f(x) = √x tvoří polovina paraboly souměrné podle osy x.

Druhá odmocnina je speciálním typem obecné odmocniny. Často se označuje pouze jako odmocnina. Je-li definováno umocňování nějakých matematických objektů (čísel, matic, funkcí...), pak druhá odmocnina z a, označovaná jako , je definována jako objekt b, pro který platí .

Druhá odmocnina má také geometrický význam. je délka strany čtverce o obsahu S = a. Objev druhé odmocniny vedl ve starověku k objevení iracionálních čísel.

Druhá odmocnina z reálného čísla[editovat | editovat zdroj]

V oboru reálných čísel uvedené obecné definici druhé odmocniny kladného čísla vyhovují dvě různá řešení, např. definici vyhovují čísla 2 i –2. Proto se obvykle odmocnina na množině reálných čísel bere jen jako kladné řešení a definuje se pouze pro kladná čísla, čímž se lze vyhnout problémům s existencí a jednoznačností odmocniny.

Vztahy mezi druhými odmocninami kladného reálného čísla[editovat | editovat zdroj]

Pokud a, b jsou kladná reálná čísla, pak platí:

Hodnoty pro kladná celá čísla[editovat | editovat zdroj]

Druhá odmocnina z čísel 1, 4, 9, 16... je celočíselná. Ve všech ostatních případech je rovna číslům iracionálním.

1
1,4142135623 7309504880 1688724209 6980785696 7187537694 8073176679 7379907324 78462 1 milion míst, 2 miliony, 5 milionů, 10 milionů
1,7320508075 6887729352 7446341505 8723669428 0525381038 0628055806 9794519330 16909 1 milion míst
2
2,2360679774 9978969640 9173668731 2762354406 1835961152 5724270897 2454105209 25638 1 milion míst
2,4494897427 8317809819 7284074705 8913919659 4748065667 0128432692 5672509603 77457 1 milion míst
2,6457513110 6459059050 1615753639 2604257102 5918308245 0180368334 4592010688 23230 1 milion míst
2,8284271247 4619009760 3377448419 3961571393 4375075389 6146353359 4759814649 56924 1 milion míst
3
3,1622776601 6837933199 8893544432 7185337195 5513932521 6826857504 8527925944 38639 1 milion míst
3,3166247903 5539984911 4932736670 6866839270 8854558935 3597058682 1461164846 42609
3,4641016151 3775458705 4892683011 7447338856 1050762076 1256111613 9589038660 33818
3,6055512754 6398929311 9221267470 4959462512 9657384524 6212710453 0562271669 48293
3,7416573867 7394138558 3748732316 5493017560 1980777872 6946303745 4673200351 56307
3,8729833462 0741688517 9265399782 3996108329 2170529159 0826587573 7661134830 91937
4
4,1231056256 1766054982 1409855974 0770251471 9922537362 0434398633 5730949543 46338
4,2426406871 1928514640 5066172629 0942357090 1562613084 4219530039 2139721974 35386
4,3588989435 4067355223 6981983859 6156591370 0392523244 4936890344 1381595573 28203
4,4721359549 9957939281 8347337462 5524708812 3671922305 1448541794 4908210418 51276

Odhad druhé odmocniny[editovat | editovat zdroj]

Číslo racionální menší než 100 a větší než 1 odhadujeme nejbližší nižší a vyšší odmocninu celého čísla.

2 < < 3 (22 = 4, 32 = 9)

Číslo větší než 100 rozdělíme do skupin po dvou číslicích od základního místa. Počet skupin určí počet číslic výsledku. Skupina zleva nemusí být úplná a odhaduje se postupem čísla menšího než 100 s doplněním nul do počtu skupin.

200 < < 300 (skupiny 5'27'44 = . 100)

Obdobně postupujeme s kladnými čísly menšími než 1, kdy je shodné dělení do skupin s počtem číslic výsledku za desetinnou čárkou, kdy se případná neúplná skupina zprava doplní připsáním nuly.

0,06 < < 0,07 (skupiny 0,00'40' =  : 100)

Výpočet druhé odmocniny odmocňování dvěma[editovat | editovat zdroj]

Výpočet odmocniny čísla odmocňováním dvěma vychází beze zbytku či se zbytkem, u kterého lze stanovit přesnost počtu desetinných míst výsledku. Následují příklady s postupem výpočtu odmocňování dvěma.

Beze zbytku[editovat | editovat zdroj]

a) od základního místa se rozdělí číslo na skupiny po dvou číslicích, kdy se případná neúplná skupina zprava doplní připsáním nuly. Počet skupin určí počet číslic výsledku od základního místa.
(výsledek bude desetinné číslo od řádu desítek)
b) odhadneme nejbližší nižší odmocninu celého čísla z první skupiny zleva. ( = 2 a v řádu desítek zapíšeme do výsledku ⇒ 2.,.)
c) od první skupiny odmocněnce odečteme druhou mocninu číselného výsledku bez ohledu na des. čárku (b) a přidáme další skupinu. (6 - 2 . 2 = 2; tedy 2'45 ⇒ 245 zbytek)
d) z čísla (c) oddělíme poslední číslici a vzniklé číslo dělíme dvojnásobkem neúplného výsledku (b). Výsledný podíl zapíšeme do výsledku v řádu jednotek, jen pokud rozdíl zbytku je kladné číslo, jinak musíme výsledek snížit o jedna a vypočítat rozdíl zbytku znova. Rozdíl zbytku je počítán ze zbytku (c) zmenšený složeninu dvojnásobkem neúplného výsledku s výsledným podílem. (24 : (2 . 2) = 6; tedy 245 - (4'6 . 6) < 0 musí se podíl 6 snížit o jedna na 5; pak 245 - (4'5 . 5) = 20 a 5 zapíšeme do výsledku ⇒ 2,5.. a 20 zbytek)
e) opakuje se postup (c) s výsledkem (d) pokud není rozdíl nulový na určitý počet des. míst. Přidání další skupiny k rozdílu 20'16 ⇒ 201 : (2 . 25) ≈ 4; tedy 2016 - (50'4 . 4) = 0 (výpočet končí, zbytek roven nule) a 4 zapíšeme do výsledku ⇒ 25,4.

Zkouška: 25,42 = 645,16.

Se zbytkem na tři des. místa[editovat | editovat zdroj]

a) (výsledek bude desetinné číslo od řádu jednotek)
b) = 2 a v řádu jednotek zapíšeme do výsledku ⇒ 2,...)
c) 7 - 22 = 3; tedy 3'00 ⇒ 300
d) 30 : (2 . 2) ≈ 7; tedy 300 - (4'7 . 7) < 0 musí se podíl 7 snížit o jedna na 6; pak 300 - (4'6 . 6) = 24 a 6 zapíšeme do výsledku ⇒ 2,6..
e1) přidání další skupiny k rozdílu 24'00 ⇒ 240 : (2 . 26) ≈ 4; tedy 2400 - (52'4 . 4) = 304 a 4 zapíšeme do výsledku ⇒ 2,64.
e2) přidání další skupiny k rozdílu 304'00 ⇒ 3040 : (2 . 264) ≈ 5; tedy 30400 - (528'5 . 5) = 3975 (zbytek) a 5 zapíšeme do výsledku ⇒ 2,645

Zkouška: 2,6452 = 6,996025 + 0,003975 = 7. Poznámka: dalším pokračováním en) výsledek jen zpřesníme.

Odkazy[editovat | editovat zdroj]

Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]