Choleského dekompozice

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Choleského dekompozice (také Choleského rozklad) je metoda rozložení hermitovské (tj. v reálném případě symetrické) pozitivně definitní čtvercové matice A na součin dolní a horní trojúhelníkové matice, přičemž jedna trojuhélníková matice je hermitovsky sdružená k matici druhé (v reálném případě transponovaná).

Dolní trojúhelníková matice L z tohoto rozkladu se nazývá Choleského faktor matice A.

Využití[editovat | editovat zdroj]

Řešení soustavy lineárních rovnic[editovat | editovat zdroj]

Soustavu lineárních rovnic Ax = b lze řešit převodem na dvě soustavy rovnic.

Vzhledem k tomu, že matice soustavy jsou trojúhelníkové, je řešení uvedených rovnic zpětným dosazením velmi snadné.

Výpočet inverzní matice[editovat | editovat zdroj]

Je-li matice A malá, lze pomocí Choleského rozkladu spočítat inverzní matici A-1 užitím vztahu

Inverzní matice L-1 je to dolní trojúhelníková matice a lze ji vypočítat například Gaussovou eliminací soustavy L X = I, kde I je jednotková matice, pak X = L-1.

Pro prvky na hlavní diagonále lze odvodit následující vztah.

Prvky pod diagonálou lze počítat postupně zprava doleva následovně.

Je-li matice A tak velká, že ji při výpočtu v počtítači musíme ukládat v řídkém formátu, pak tento postup použít nelze. Je-li matice A rozumně řídká, pak i Choleského faktor L je řídký, matice L-1 a A-1 jsou zpravidla husté.

Algoritmus rozkladu[editovat | editovat zdroj]

Prvky matice L je možné počítat po sloupcích zleva a v každém sloupci odshora dolů.

Pro první sloupec platí následující.

Pro druhý sloupec platí:

Pro prvky na diagonále lze, vzhledem ke znalosti celého řádku vlevo od prvku, odvodit následující vzorec.

Pro prvky pod diagonálou lze odvodit následující vztah.

V jazyku C lze uvedený postup zapsat následovně.

for (c=0; c<n; c++) {
  for (sum=0, i=c-1; i>=0; i--)
    sum += sqr(L[c][i]);
  L[c][c] = sqrt(A[c][c] - sum);
  for (r=c+1; r<n; r++) {
    for (sum=0, i=c-1; i>=0; i--)
      sum += L[r][i]*L[c][i];
    L[r][c] = (A[r][c] - sum) / L[c][c];
  }
}

Numerické vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Choleského rozklad je bezpodmínečně zpětně stabilní.