Kvadratická forma

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Jump to navigation Jump to search

Kvadratická forma je zúžením (restrikcí) bilineární formy. Jde o zobrazení jen jednoho vektoru, který však představuje oba argumenty příslušné bilineární formy. Kvadratické formy jsou ústředním matematickým aparátem, vyskytují se například v teorii čísel, Riemanově geometrii (jako křivosti křivek) a mnoha dalších. Jsou také všude ve fyzice a chemii, jako energie systému, zvláště pak co se týče matematických norem, které vedou k využití v Hilbertových prostorech.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Nechť je bilineární forma na vektorovém prostoru nad tělesem . Pak funkce

se nazývá kvadratická forma na .

Základní vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Všechny kvadratické formy jsou homogenní funkce 2. řádu, tzn.

pro všechna a .

Nejběžnější kvadratická forma je

Kvadratickou formu můžeme ve složkách rozepsat jako

kde jsou složky symetrické matice typu .

Druhy kvadratických forem[editovat | editovat zdroj]

Kvadratická forma na euklidovském prostoru se nazývá

  1. pozitivně definitní, jestliže platí
  2. pozitivně semidefinitní, jestliže platí
  3. negativně definitní, jestliže platí
  4. negativně semidefinitní, jestliže platí
  5. indefinitní, jestliže taková, že a .

Literatura[editovat | editovat zdroj]

  • HAMHALTER, Jan; TIŠER, Jaroslav. Diferenciální počet funkcí více proměnných. Praha: vydavatelství ČVUT, 1999. ISBN 80-01-01589-0. S. 139. (česky) 
  • BICAN, Ladislav. Lineární algebra a geometrie. Praha: Academia, 2000. ISBN 80-200-0843-8. S. 197. (česky) 
  • MOTL, Luboš; ZAHRADNÍK, Miloš. Pěstujeme lineární algebru. Praha: Karolinum, 2003. ISBN 80-246-0421-3. S. 337. (česky) 

Související články[editovat | editovat zdroj]