Polární rozklad

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Polární rozklad je rozklad reálné (respektive komplexní) čtvercové matice na součin symetrické (respektive hermitovské) pozitivně semidefinitní matice a matice ortogonální (respektive unitární).

Reálný případ[editovat | editovat zdroj]

Uvažujme a její singulární rozklad

kde matice a jsou ortogonální a matice je diagonální s nezápornými čísly na diagonále tak, že platí

Vložením šikovně rozepsané jednotkové matice, , na vhodné místo do singulárního rozkladu, získáme hledaný polární rozklad. Možnosti jsou dvě, buď

kde

je symetrická pozitivně semidefinitní (je-li , tj. je-li regulární, pak je symetrická pozitivně definitní) a

je ortogonální. Případně

kde

je opět symetrická pozitivně (semi)definitní.

Komplexní případ[editovat | editovat zdroj]

Zcela analogicky uvažujme a její singulární rozklad

kde matice a jsou unitární a matice je diagonální s nezápornými čísly na diagonále tak, že platí

Polární rozklad lze opět vyjádřit dvěma způsoby, buď

kde

je hermitovská pozitivně semidefinitní (je-li , tj. je-li regulární, pak je hermitovská pozitivně definitní) a

je unitární. Případně

kde

je opět hermitovská pozitivně (semi)definitní.

Rozšíření na obdélníkový případ[editovat | editovat zdroj]

Je-li matice obdélníková, () a , matice má tedy více sloupců než řádků, lze ji, zcela analogickým postupem jako v předchozích případech zapsat jako součin

kde je symetrická (hermitovská) pozitivně (semi)definitní a matice ortonormální řádky.

Pokud je , tedy matice má více sloupců než řádků, lze ji zapsat jako součin

kde je symetrická (hermitovská) pozitivně (semi)definitní a matice ortonormální sloupce.

Matice , respektive je regulární, pokud má matice má lineárně nezávislé řádky, respektive sloupce.

Maticové identity[editovat | editovat zdroj]

Následující vztahy uvádíme pouze pro komplexní případ, reálný případ je zcela analogický.

Obecně, je-li matice čtvercová, nebo obdélníková s více sloupci než řádky, platí

Je-li matice čtvercová, nebo obdélníková s více řádky než sloupci, platí

Viz definici odmocniny z matice.

Rozklady

představují zároveň Schurovy i Jordanovy rozklady matic a .

Singulární čísla , matice tedy představují vlastní čísla matic a .

Aplikace[editovat | editovat zdroj]

Polární rozklad (reálné čtvercové regulární matice) nachází uplatnění zejména v klasické mechanice, kde slouží, v maticovém popisu, k oddělení deformace tělesa (reprezentované symetrickou pozitivně definitní maticí) od pohybu tuhého tělesa, přesněji změny souřadného systému (reprezentované ortogonální maticí).

Související články[editovat | editovat zdroj]

Literatura[editovat | editovat zdroj]

  • J. Duintjer Tebbens, I. Hnětynková, M. Plešinger, Z. Strakoš, P. Tichý: Analýza metod pro maticové výpočty, základní metody. Matfyzpress 2012. ISBN 978-80-7378-201-6. (Kapitola 5.8, Polární rozklad a exponenciální tvar čtvercové matice, str. 142-143)
  • M. Fiedler: Speciální matice a jejich užití v numerické matematice. SNTL, Státní nakladatelství technické literatury, edice TKI, Teoretická knižnice inženýra, 1981. (Věta 2.29, str. 63)