Přeskočit na obsah

Sylvesterův zákon setrvačnosti

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Sylvesterův zákon setrvačnosti je matematické tvrzení z oboru lineární algebry charakterizující vyjádření reálné kvadratické formy diagonální maticí.

Znění věty

[editovat | editovat zdroj]

Pro každou reálnou kvadratickou formu na prostoru existuje báze, vůči níž má diagonální matici s pouze prvky . Navíc, tato matice je až na pořadí prvků jednoznačná.

Buď matice formy . A je symetrická, takže existuje její spektrální rozklad , kde . Čili je diagonalizace formy. Pro na diagonále provedeme úpravu , kde je diagonální matice s prvky pro a pro .

Jednoznačnost

[editovat | editovat zdroj]

Nechť existují dvě různé diagonalizace pro bázi a prostoru . Buď libovolné a nechť má souřadnice a . Pak

,

.

Platí , protože pro nějakou regulární . Proto mají stejnou hodnost. Ukažme, že nutně . BÚNO nechť . Definujme prostory a . Pak .

Tedy existuje nenulový a pro něj máme z čehož dostaneme a zároveň , což je spor.