Gaussova funkce

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Grafy normalizovaných gaussovských funkcí s různými parametry

Gaussova funkce pojmenovaná po matematikovi Carlu Friedrichu Gaussovi je reálná funkce jedné reálné proměnné se třemi parametry ve tvaru

Čísla a musí být kladná, je libovolné reálné, je Eulerovo číslo (2,71828...). Graf funkce má v bodě vrchol o výšce , který graf dělí na dvě vzájemně souměrné části – levou rostoucí z 0 a pravou klesající asymptoticky zpět k 0. Parametr určuje šířku „kopce“ ve výšce . V polovině výšky má graf šířku .

Normalizované funkce[editovat | editovat zdroj]

Gaussova funkce se velmi často používá ve významu hustoty pravděpodobnosti. V takovém případě musí být její integrál přes celý definiční obor (plocha pod grafem) roven 1, což představuje pravděpodobnost jistého jevu.

Tuto tzv. normalizační podmínku můžeme splnit vhodnou volbou konstanty . Nejjednodušší gaussovskou funkcí je , jejíž integrál je roven (viz Gaussův integrál), takže její normalizovaná verze musí mít tvar

Parametr pouze posouvá graf podél osy , takže nemá vliv na hodnotu integrálu. Parametr graf rozšiřuje a integrál se přitom násobí číslem . Obecná normalizovaná Gaussova funkce tedy musí mít tvar

Parametr má v tomto případě význam střední hodnoty náhodné veličiny a parametr je směrodatná odchylka.

Fourierova transformace[editovat | editovat zdroj]

Z matematického a fyzikálního hlediska jsou Gaussovy funkce významné také tím, že při je Fourierovým obrazem funkce opět Gaussova funkce, obecně s jinými parametry.

Je-li navíc , je Gaussova funkce obrazem sama sebe (), takže představuje pevný bod Fourierovy transformace. Ze všech normalizovaných funkcí má tuto vlastnost pouze jediná:

Odkazy[editovat | editovat zdroj]

Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]