Gaussův integrál

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Graf ƒ(x) = ex2 a plochy mezi funkcí a osou x; tato plocha se rovná

Gaussův integrál, také známý jako Eulerův-Poissonův integrál či Poissonův integrál,[1] je integrál Gaussovy funkce ex2 přes celou reálnou osu, tedy

Jména tomuto integrálu dali matematici Carl Friedrich Gauss, Leonhard Euler a Siméon Denis Poisson.

Výpočet[editovat | editovat zdroj]

Integrál Gaussovy funkce označíme .

Obě strany rovnice umocníme na druhou, přičemž proměnnou ve druhém integrálu označíme .

Součin integrálů odpovídá dvojnému integrálu funkce dvou proměnných, která je součinem původních funkcí.

Graf této funkce si můžeme představit jako kopec (tvarem připomíná horu Říp) nad rovinou s kartézskými souřadnicemi . Integrál představuje objem kopce. Jelikož je kopec souměrný podle svislé osy, hodí se k jeho popisu polární soustava souřadnic , do kterých funkci přepíšeme.

Tento integrál už lze jednoduše vyřešit metodou substituce (u = r2) a jeho hodnota je . Odmocněním rovnice dostaneme výsledek.

Reference[editovat | editovat zdroj]

  1. Пуассона интеграл, БСЭ

Literatura[editovat | editovat zdroj]

Související články[editovat | editovat zdroj]