Polární soustava souřadnic

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Polární soustava souřadnic je taková soustava souřadnic v rovině, u které jedna souřadnice (označovaná r) udává vzdálenost bodu od počátku souřadnic, druhá souřadnice (označovaná \varphi) udává úhel spojnice tohoto bodu a počátku od zvolené osy ležící v rovině (nejčastěji jí odpovídá osa x kartézských souřadnic).

Polární soustava souřadnic je vhodná v případech takových pohybů, při nichž se nemění vzdálenost tělesa od jednoho bodu (počátku souřadnic), například u pohybu po kružnici, případně se tato vzdálost mění s nějakou jednoduchou závislostí.

Souřadnicová síť v polárních souřadnicích
Bod v polární soustavě souřadnic
Ukázka dvou bodů v polárních souřadnicích: [r=3; φ=60°] a [r=4; φ=210°]
Ukázka převodu polárních souřadnic [r; φ] na kartézské [x; y]

Transformace[editovat | editovat zdroj]

Transformace polárních souřadnic na kartézské:

x = r \cos{\varphi}\,
y = r \sin{\varphi}\,

Převod kartézských souřadnic na polární:

r = \sqrt{x^2 + y^2}
\varphi = \operatorname{arctg}\left(\frac{y}{x}\right)

Tato převodní funkce však funguje jen na intervalu \varphi \in \langle 0,\frac{\pi}{2}\rangle - pro jiné intervaly bychom museli změnit znaménko funkce arctg(x). Abychom mohli popsat inverzi pro daný úhel na celém jeho definičním intervalu, bývá často používána funkce arctg2(y,x) definovaná jako

\operatorname{arctg2}(y,x) = \left\{\begin{matrix} 
\operatorname{arctg}\left(\frac{y}{x}\right),\ \ \ \ \ \ & \mbox{je-li } (x>0) \wedge (y>0), \\ 
\operatorname{arctg}\left(\frac{y}{x}\right) + \pi,\ & \mbox{je-li } 
(x<0), \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\
\operatorname{arctg}\left(\frac{y}{x}\right) + 2\pi, & \mbox{je-li } (x>0) \wedge (y<0), \\
\end{matrix}\right.

Převod kartézských souřadnic na polární má potom zápis:

r = \sqrt{x^2 + y^2}
\varphi = \operatorname{arctg2}\left(y,x\right)

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Jedná se o ortogonální soustavu souřadnic s Lamého koeficienty

h_r = 1 \quad h_{\varphi} = r.

Délka infinitesimální úsečky se spočte jako

\mathrm{d}s^2=\mathrm{d}r^2+r^2\mathrm{d}\varphi^2,

tedy délka křivky obecně jako

\int_{t_1}^{t_2}{\sqrt{\left(\frac{\mathrm{d}r(t)}{\mathrm{d}t}\right)^2
            +r^2\left(\frac{\mathrm{d}\varphi(t)}{\mathrm{d}t}\right)^2}}\mathrm{d}t,

kde t je parametr dané křivky a s je její délka od t_1 do t_2.

Obsah infinitesimálního elementu plochy spočteme jako

\mathrm{d}S=r \mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi,

takže celkový obsah spočteme integrací tohoto výrazu přes danou oblast vyjádřenou v polárních souřadnicích.

Christofelovy koeficienty Levi-Civitovy konexe generované Euklidovskou metrikou jsou dány vztahy

{\Gamma^r}_{rr}={\Gamma^\varphi}_{\varphi\varphi}=
{\Gamma^r}_{r\varphi}={\Gamma^r}_{\varphi r}={\Gamma^\varphi}_{rr}=0
{\Gamma^\varphi}_{\varphi r}={\Gamma^\varphi}_{r \varphi} = \frac{1}{r}
{\Gamma^r}_{\varphi \varphi}= -r

Diferenciální operátory v polárních souřadnicích[editovat | editovat zdroj]

\nabla f = 
{\partial f \over \partial r }\boldsymbol{\hat r } 
  + {1 \over  r }{\partial f \over \partial \varphi}\boldsymbol{\hat \varphi}


\nabla \cdot \mathbf{A} =
{1 \over r }{\partial \left( r A_r \right) \over \partial r } 
  + {1 \over  r }{\partial A_\varphi \over \partial \varphi}


\Delta f = \nabla^2 f = 
{1 \over r }{\partial \over \partial r }\left( r {\partial f \over \partial r }\right) 
  + {1 \over  r ^2}{\partial^2 f \over \partial \varphi^2}


\Delta \mathbf{A} = 
  \left(\Delta A_r  - {A_r  \over  r ^2} 
    - {2 \over  r ^2}{\partial A_\varphi \over \partial \varphi}\right) \boldsymbol{\hat r }  + 
  \left(\Delta A_\varphi - {A_\varphi \over  r ^2} 
    + {2 \over  r ^2}{\partial A_r  \over \partial \varphi}\right) \boldsymbol{\hat\varphi}


Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]