Polární soustava souřadnic

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Polární soustava souřadnic je taková soustava souřadnic v rovině, u které jedna souřadnice (označovaná ) udává vzdálenost bodu od počátku souřadnic, druhá souřadnice (označovaná ) udává úhel spojnice tohoto bodu a počátku od zvolené osy ležící v rovině (nejčastěji jí odpovídá osa kartézských souřadnic).

Polární soustava souřadnic je vhodná v případech takových pohybů, při nichž se nemění vzdálenost tělesa od jednoho bodu (počátku souřadnic), například u pohybu po kružnici, případně se tato vzdálost mění s nějakou jednoduchou závislostí.

Souřadnicová síť v polárních souřadnicích
Bod v polární soustavě souřadnic
Ukázka dvou bodů v polárních souřadnicích: [r=3; φ=60°] a [r=4; φ=210°]
Ukázka převodu polárních souřadnic [r; φ] na kartézské [x; y]

Transformace[editovat | editovat zdroj]

Transformace polárních souřadnic na kartézské:



Převod kartézských souřadnic na polární:



Tato převodní funkce však funguje jen na intervalu - pro jiné intervaly bychom museli změnit znaménko funkce arctg(x). Abychom mohli popsat inverzi pro daný úhel na celém jeho definičním intervalu, bývá často používána funkce arctg2(y,x) definovaná jako

Převod kartézských souřadnic na polární má potom zápis:



Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Jedná se o ortogonální soustavu souřadnic s Lamého koeficienty

.

Délka infinitesimální úsečky se spočte jako

tedy délka křivky obecně jako

kde t je parametr dané křivky a s je její délka od do .

Obsah infinitesimálního elementu plochy spočteme jako

takže celkový obsah spočteme integrací tohoto výrazu přes danou oblast vyjádřenou v polárních souřadnicích.

Christofelovy koeficienty Levi-Civitovy konexe generované Euklidovskou metrikou jsou dány vztahy

Diferenciální operátory v polárních souřadnicích[editovat | editovat zdroj]





Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]