Zobecněná souřadnice

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Jako zobecněné souřadnice (někdy též obecné souřadnice) se označuje skupina souřadnic použitých k popisu fyzikálního systému. Zobecněné souřadnice nemusí mít fyzikální rozměr délky nebo času. Používají se zvláště v teoretické mechanice.

Nezávislé zobecněné souřadnice[editovat | editovat zdroj]

Při řešení určitého fyzikálního problému je výhodné, pokud je možné zvolit zobecněné souřadnice tak, aby byly nezávislé. Tento postup se používá v lagrangeovské mechanice, neboť umožňuje zbavit se těch proměnných, které by bylo nutno vyjádřit pomocí různých vazebných podmínek.

Pro systém s m stupni volnosti a n částicemi, jejichž polohy jsou určeny polohovými vektory \{\mathbf{r}_i\} ve třírozměrném prostoru existuje 3n-m rovnic, které omezují složky těchto polohových vektorů. Počet zobecněných souřadnic lze v takovém případě zvolit stejný jako je počet stupňů volnosti m. Zobecněné souřadnice \{ q_1, q_2, ..., q_m\} a čas t postačují k popisu systému, jsou-li všechny zobecněné souřadnice vzájemně nezávislé. Návrat k původním souřadnicím (tedy k polohovým vektorům jednotlivých částic) je pak dán transformačními vztahy

\mathbf{r}_i=\mathbf{r}_i(q_1, q_2, ..., q_m, t)

pro i = 1,2,...,n.

Tyto transformace umožňují při práci s komplikovanými systémy použít vhodnější souřadnice a po vyřešení problému se vrátit zpět k původním souřadnicím. Pomocí těchto rovnic lze vytvořit diferenciály, např. pro případy virtuálního posunutí nebo zobecněných sil.

Prostor \mathbf{R}^n zobecněných souřadnic se nazývá konfigurační prostor.

Zobecněná rychlost[editovat | editovat zdroj]

Časová změna zobecněné souřadnice určuje zobecněnou rychlost

\dot{q}_i = \frac{\mathrm{d}q_i}{\mathrm{d}t}

Rychlosti pohybu jednotlivých částic lze získat použitím transformačních vztahů

\dot{\mathbf{r}}_i = \sum_{k=1}^m \frac{\part\mathbf{r}_i}{\part q_k}\dot{q}_k

Související články[editovat | editovat zdroj]