Fyzikální rozměr veličiny

Fyzikální rozměr veličiny (zkráceně rozměr veličiny) je formální vyjádření závislosti měřené fyzikální veličiny na veličinách základních, odpovídajících základním jednotkám. Zpravidla se jedná o součin celočíselných mocnin rozměrů základních veličin, v případě některých veličinových soustav mohou být mocniny polocelé (např. soustava CGS).

Rozměr veličiny $X$ se korektně značí jako $\dim X$, pro zjednodušení se však často používá stejný zápis jako pro jednotky, tedy značka veličiny v hranatých závorkách: $[X]$.

V každé fyzikální rovnici musí být rozměry veličin na obou stranách stejné. Toho lze využít k rozměrové kontrole správnosti složitějších fyzikálních rovnic (tzv. rozměrová analýza).

Stanovení rozměru odvozené veličiny a rozměrová rovnice

Rozměr odvozené veličiny se stanoví z definičního vztahu dané veličiny.

Veličiny koherentních soustav jsou zpravidla definovány jako součiny a podíly základních veličin. V definičním vztahu se nahradí značky veličin symboly rozměrů a ty se rozepíší do součinu mocnin rozměrů základních veličin (majících obvykle specifické značky). Výsledný vztah se pak převede do tvaru součinu mocnin rozměrů základních veličin podle zásad pro úpravu součinů a podílů mocnin.

Pokud v definičním vztahu figuruje číselný koeficient, nahradí se (stejně jako každá bezrozměrná veličina) jednotkou, efektivně se tedy vynechá. Sčítat a odečítat lze pouze veličiny stejného rozměru – proto je přirozené, že každý z členů musí mít stejný rozměr (a pro definici rozměru odvozené veličiny postačuje ponechání pouze jediného členu).

Derivace v definičním vztahu se bere jako naznačené dělení infinitezimálních přírůstků – nahradí se proto prostým podílem, integrál jako nekonečný součet součinů integrované veličiny a infinitezimálního přírůstku integrační proměnné – nahradí se tedy součinem obou rozměrů. Vyskytuje-li se v definičním vztahu exponenciální, logaritmická nebo goniometrická funkce, její hodnota se bere jako bezrozměrná; taktéž její argument musí být bezrozměrný.

Ke každé veličinové rovnici lze napsat podle stejných zásad odpovídající rovnici rozměrovou a rozepsat ji až na vztahy rozměrů základních veličin. Rozměrovou rovnici lze využít k rozměrové kontrole správnosti původní rovnice – obě strany rovnice musí mít stejný rozměr, stejně tak všechny členy naznačených součtů a rozdílů. Protože argumenty exponenciálních, logaritmických a goniometrických funkcí musí být bezrozměrné, přibude ke každé takové funkci ještě kontrolní rozměrová rovnice pro její argument.

Přehled symbolů fyzikálních rozměrů soustavy SI

Základní veličina	Symbol rozměru SI	Hlavní jednotka SI	Značka
délka	L	metr	m
hmotnost	M	kilogram	kg
čas	T	sekunda	s
elektrický proud	I	ampér	A
teplota	Θ	kelvin	K
látkové množství	N	mol	mol
svítivost	J	kandela	cd

Historická poznámka

Do roku 1995 měly svůj zvláštní nezávislý rozměr i tzv. doplňkové veličiny a jednotky, ač měly charakter bezrozměrných odvozených veličin a jednotek. V současnosti mají jako bezrozměrné odvozené veličiny a jednotky rozměr 1.

Dříve tedy tabulka rozměrů obsahovala ještě:

Doplňková veličina	Symbol rozměru	Jednotka	Značka
rovinný úhel	α	radián	rad
prostorový úhel	Ω	steradián	sr

Tyto rozměry vystupovaly i v rozměrech veličin odvozených z veličin doplňkových; např. korektní rozměr úhlové rychlosti byl do roku 1995 $\mathrm {T} ^{-1}\alpha$, rozměr osvětlení (a jednotky lux) byl $\mathrm {L} ^{-2}\mathrm {J} \Omega$ apod.

Příklady

Příklad stanovení rozměru veličiny

Jako příklad použijeme veličinu práce $W$, která je definována jako součin síly $F$ a dráhy $s$, po níž působila, tedy

$W=F\cdot s.$

Rozměr veličiny $W$, který označíme $[W]$, odvodíme postupným dosazováním rozměrů základních veličin. Protože dráha $s$ představuje základní veličinu (délku), dosadíme za $s$ příslušný symbol $\mathrm {L}$. Síla však není základní veličinou, proto rozepíšeme

$[W]=[F]\cdot \mathrm {L} .$

V dalším kroku použijeme definici síly (2. Newtonův zákon)

$F=m\cdot a,$

kde $m$ je hmotnost tělesa (tedy základní veličina,rozměr $\mathrm {M}$) a $a$ je zrychlení. Pro rozměr síly tedy platí

$[F]=\mathrm {M} \cdot [a].$

Zrychlení je definováno jako derivace rychlosti podle času

$a={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}},$

rozměrově odpovídá derivace podílu veličin, kde $t$ je čas (rozměr $\mathrm {T}$)

$[a]={\frac {[v]}{\mathrm {T} }}=[v]\cdot \mathrm {T} ^{-1}.$

Konečně rychlost $v$ je definována jako derivace dráhy podle času

$v={\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}},$

z čehož plyne rozměr rychlosti

$[v]={\frac {\mathrm {L} }{\mathrm {T} }}=\mathrm {L} \mathrm {T} ^{-1}.$

Zpětným dosazováním do předchozích rovnic a úpravami nakonec získáme fyzikální rozměr veličiny práce

$[W]=\mathrm {M} \cdot ([v]\cdot \mathrm {T} ^{-1})\cdot \mathrm {L} =\mathrm {M} \cdot (\mathrm {L} \mathrm {T} ^{-1}\cdot \mathrm {T} ^{-1})\cdot \mathrm {L} =\mathrm {L} ^{2}\mathrm {M} \mathrm {T} ^{-2}.$

Zpracujeme-li obdobným způsobem rovnici pro výpočet kinetické energie

$E_{\mathrm {k} }={\frac {1}{2}}m\cdot v^{2},$

zjistíme, že rozměr této veličiny je (číselný faktor ½ je bezrozměrný)

$[E_{\mathrm {k} }]=\mathrm {M} \cdot (\mathrm {L} \mathrm {T} ^{-1})^{2}=\mathrm {L} ^{2}\mathrm {M} \mathrm {T} ^{-2}.$

Rozměr je tedy stejný jako rozměr práce. Tato skutečnost nepřekvapuje, protože kinetická energie má stejnou jednotku jako práce. Není však pravidlem, že veličiny stejného rozměru musí mít stejnou jednotku – stejný rozměr má i moment síly, je to však veličina s jiným fyzikálním charakterem (vektorový součin), proto se u ní používá složená jednotka newton metr.

Příklady rozměrové kontroly veličinových rovnic

1. Gaussův zákon elektrostatiky

$\oint _{S}\mathbf {D} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} =Q$

$[D]\cdot [A]=[Q]$

L. S. = $\mathrm {L} ^{-2}\mathrm {T} \mathrm {I} \cdot \mathrm {L} ^{2}=\mathrm {T} \mathrm {I}$

P. S. = $\mathrm {T} \mathrm {I}$ (náboj = proud × čas)

Rovnice je rozměrově správná.

2. Termodynamický vztah (objemová derivace vnitřní energie)

$\left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}=T\left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{V}-p$

${\frac {[U]}{[V]}}=[T]\cdot {\frac {[p]}{[T]}}-[p]=[p]-[p]$

L. S. = ${\frac {\mathrm {L} ^{2}\mathrm {M} \mathrm {T} ^{-2}}{\mathrm {L} ^{3}}}=\mathrm {L} ^{-1}\mathrm {M} \mathrm {T} ^{-2}$ (rozměr tlaku)

P. S. = $\mathrm {L} ^{-1}\mathrm {M} \mathrm {T} ^{-2}$

Rovnice je rozměrově správná.

3. Výchylka tlumených kmitů

$y=r\mathrm {e} ^{-bt}\sin(\omega t+\varphi )$

Kontrola amplitudy:	$[y]=[r]$	$\ \longrightarrow \$	$\mathrm {L} =\mathrm {L}$	(v pořádku)
Kontrola argumentu exponenciály:	$[b]\cdot [t]=1$	$\ \longrightarrow \$	$\mathrm {T} ^{-1}\cdot \mathrm {T} =1$	(bezrozměrné, v pořádku)
Kontrola argumentu sinu:	$[\omega ]\cdot [t]=[\varphi ]=1$	$\ \longrightarrow \$	$\mathrm {T} ^{-1}\cdot \mathrm {T} =1$	(bezrozměrné, v pořádku)

Související články

• Bezrozměrná veličina
• Dimenze
• Fyzikální jednotka
• Buckinghamův pí teorém

Autoritní data	GND: 4149934-7