Moment síly

Moment síly
Název veličiny; a její značka	Moment síly; M
Hlavní jednotka SI; a její značka	newton metr; Nm
Definiční vztah
Dle transformace složek	pseudovektorová
Zařazení jednotky v soustavě SI	odvozená

Moment síly je vektorová fyzikální veličina, která vyjadřuje míru otáčivého účinku síly.

Otáčivý účinek síly se vztahuje k danému bodu nebo přímce. Bod, ke kterému se moment síly určuje, se nazývá momentovým bodem. Kolmá vzdálenost $p$ síly od její osy k bodu je tzv. rameno síly. Bod, vůči němuž se určuje moment síly, nemusí být bodem ležícím na ose otáčení. Moment síly lze určit vzhledem k libovolnému bodu, a to i k bodům, které se nachází mimo zkoumané těleso.

Moment síly je definován jako součin síly a kolmé vzdálenosti osy síly od daného bodu. Velikost momentu síly tedy závisí na velikosti síly a na vzdálenosti od osy otáčení (čím dále síla působí, tím větší moment síly vznikne, obě veličiny jsou přímo úměrné). Směr vektoru momentu síly je kolmý na rovinu síly a polohového vektoru působiště, určuje se pravidlem pravé ruky: Zahnuté prsty pravé ruky ukazují směr otáčivého účinku síly (směr otáčení tělesa), vztyčený palec ukazuje směr momentu síly.

Celkový moment působících sil může být nenulový, i když je jejich výslednice nulová, a může i tak docházet ke změně pohybového stavu tělesa. Proto je nejen síla, ale i moment síly důležitou veličina pro charakterizaci účinků působících na těleso či obecně soustavu hmotných bodů, vhodná zejména pro popis otáčivých účinků. Tak jako nenulová celková působící síla uvádí těleso do zrychleného posuvného pohybu, tak nenulový celkový moment síly uvádí těleso do zrychleného otáčivého pohybu. Tak jako pro sílu platí první věta impulsová, tak pro moment síly platí druhá věta impulsová, podle které je celkový moment působících sil roven okamžité časové změně momentu hybnosti daného tělesa či soustavy a ze které vyplývá zákon zachování momentu hybnosti. Moment síly je také veličinou vhodnou pro určení mechanické práce při otáčivém pohybu.

V případech, kdy je potřeba charakterizovat otáčivý účinek síly na soustavu s pevně danou osou otáčení, používá se příbuzná veličina točivý moment, která představuje průmět obecného momentu síly do osy otáčení.

Značení

Symbol veličiny: ${\boldsymbol {M}}$
Odvozená jednotka SI: newton metr, značka jednotky: Nm

Výpočet

Nechť ${\boldsymbol {F}}$ je vzhledem k libovolnému bodu $O$ určeno polohovým vektorem ${\boldsymbol {r}}$ . Moment síly vzhledem k bodu $O$ je pak určen vztahem

{\boldsymbol {M}}={\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {F}}

Vektory ${\boldsymbol {r}}$ a ${\boldsymbol {F}}$ definují rovinu, k níž je výsledný vektor ${\boldsymbol {M}}$ kolmý. Směr vektoru ${\boldsymbol {M}}$ určuje směr osy otáčení (rotace). Tato osa prochází bodem $O$ , ke kterému moment síly určujeme.

Pokud je $\alpha$ úhel mezi vektory ${\boldsymbol {r}}$ a ${\boldsymbol {F}}$ , pak lze z předchozího vztahu získat velikost momentu jako

M=Fr\sin \alpha

Tento vztah lze chápat dvěma způsoby

$M=r(F\sin \alpha )$

V tomto případě chápeme vztah jako součin délky průvodiče

r

a složky síly

F_{k}=F\sin \alpha

kolmé na tento průvodič. Složka

F_{k}

má otáčivou schopnost, zatímco složka

F_{r}

, která je kolmá na

F_{k}

a rovnoběžná s průvodičem

{\boldsymbol {r}}

, tuto schopnost nemá.

$M=F(r\sin \alpha )$

V tomto případě lze vztah chápat jako součin síly o velikost

F

a ramene síly

p=r\sin \alpha

, tedy

M=Fp

.

Ramenem síly

p

se rozumí kolmá vzdálenost vektorové přímky síly od bodu

O

(tedy bodu, vůči němuž moment síly určujeme).

Moment obecné síly na obecné páce v rovině:

M=F.r.(\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta )

Vlastnosti

Pokud určujeme moment síly vzhledem k bodu, je $\mathbf {M}$ kolmé k průvodiči ${\boldsymbol {r}}$ a současně k síle ${\boldsymbol {F}}$ . V případě, že určujeme moment síly k ose, leží ${\boldsymbol {M}}$ ve zvolené ose.
Moment síly vzhledem k ose se definuje jako průmět momentu síly vzhledem k bodu osy do této síly. Moment síly vzhledem k ose tedy leží ve zvolené ose. Působící síla tedy neurčuje směr momentu síly (jako v případě momentu vzhledem k bodu), ale pouze velikost tohoto momentu.
Při řešení se postupuje tak, že působištěm síly se proloží rovina kolmá k ose, ke které se určuje moment síly. Vektor síly ${\boldsymbol {F}}$ je pak promítnut do této roviny, čímž se získá složka ${\boldsymbol {F}}^{\prime }$ , která je odpovědná za otáčení. Průsečík osy, k níž se určuje moment síly, a roviny, v níž leží ${\boldsymbol {F}}^{\prime }$ , je bodem, k němuž se určí moment síly.
Působí-li ve společném působišti několik sil ${\boldsymbol {F}}_{i}$ , je jejich celkový účinek dán výslednicí sil ${\boldsymbol {R}}={\boldsymbol {F}}_{1}+{\boldsymbol {F}}_{2}+\cdots +{\boldsymbol {F}}_{n}=\sum _{i=1}^{n}{\boldsymbol {F}}_{i}$ a výsledný moment je dán vztahem ${\boldsymbol {M}}={\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {R}}={\boldsymbol {r}}\times ({\boldsymbol {F}}_{1}+{\boldsymbol {F}}_{2}+\cdots +{\boldsymbol {F}}_{n})$ .

Z distributivního zákona pro vektorový součin pak dostaneme

{\boldsymbol {M}}=({\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {F}}_{1})+({\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {F}}_{2})+\cdots +({\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {F}}_{n})={\boldsymbol {M}}_{1}+{\boldsymbol {M}}_{2}+\cdots +{\boldsymbol {M}}_{n}=\sum _{i=1}^{n}{\boldsymbol {M}}_{i}

Výsledný moment sil působících v jednom bodě vzhledem k libovolnému bodu je tedy roven vektorovému součtu momentů všech složek k danému bodu.

Související články

Mechanika
Mechanika tuhého tělesa
Impulsová věta, oddíl Druhá věta impulsová
Varignonova momentová věta (druhá věta impulsová ve statice)
Dvojice sil, Moment dvojice sil
Točivý moment (krouticí moment)
Ohybový moment
Impuls momentu síly